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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,4,4,6,5,5,10,10,课题：探究“杨辉三角”的一些秘密,14 十一月 2024,11111111111332446551010课题：探究“杨,1,1.,二项式定理,2.,二项式展开的通项,第,r,+1,项,复习回顾,1.二项式定理2.二项式展开的通项第 r+1 项复习回顾,2,(,a,+,b,),0,(,a,+,b,),1,=,(,a+b,),2,=,(,a,+,b,),3,=,(,a,+,b,),4,=,(,a,+,b,),5,=,二项式系数与杨辉三角,(,a,+,b,),6,=,学,.,科,.,网,=1,a,+,b,a,2,+,2,ab+b,2,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,a,4,+4,a,3,b,+6,a,2,b,2,+4,ab,3,+,b,4,a,5,+5,a,4,b,+10,a,3,b,2,+10,a,2,b,3,+5,ab,4,+,b,5,a,6,+6,a,5,b,+15,a,4,b,2,+20,a,3,b,3,+15,a,2,b,4,+6,ab,5,+,b,6,(a+b)0(a+b)1=(a+b)2=(a+b)3=(a+,3,1,2,1,1,1,1,3,3,1,1,4,4,6,1,1,5,5,10,10,6,1,6,15,15,20,1,1,1,这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”,学,.,科,.,网,“,横看成岭侧成峰，远近高低各不同”,横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察,杨辉三角的图形，你能发现组成它的数有什么规律吗？,121111331144611551010616151520,4,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,【杨辉三角规律探究】,【杨辉三角规律探究】,5,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,【杨辉三角规律探究】,2,）,表中每个数都是组合数，第,n,行的第,r+1,个数是,【杨辉三角规律探究】2）表中每个数都是组合数，第n行的第,6,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,【杨辉三角规律探究】,3,）,三角形的两条斜边上的数都是,1,，,都等于它肩上的两个数字相加，,也就是,C,n,0,=,C,n,n,=1,C,n+1,m,=C,n,m,+C,n,m-1,其余的数,【杨辉三角规律探究】3）三角形的两条斜边上的数都是1，,7,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,【杨辉三角规律探究】,4,）,杨辉三角具有对称性,【杨辉三角规律探究】4）杨辉三角具有对称性,8,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次,9,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,10,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,【杨辉三角规律探究】,5,）增减性与最大值,每行二项式系数,前,半部分,是,逐渐增大,的，由对称性可知它的,后,半部分是,逐渐减小,的，且,中间项取得最大值。,【杨辉三角规律探究】5）增减性与最大值 每行二项,11,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,由,：,即二项式系,数前,半部分,是,逐渐增大,的，由对称性可知它的,后,半部分是,逐渐减小,的，且,中间项取得最大值。,可知，当 时，,由于：所以 相对于 的增减情况由 决定由：,12,因此,当,n,为偶数时,中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值。,增减性与最大值,二项式系数的性质,因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数,13,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,6).,横看杨辉三角中各行数字之和,第,n,行数字的和为,2,n,【杨辉三角规律探究】,前,n,行所有数的和为,2,n+1,2,6).横看杨辉三角中各行数字之和第n行数字的和为2 n【,14,例,证明在,(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,。,在二项式定理中，令 ，则：,赋值法,证明：,例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等,15,性质,.,各二项式系数的和,即在,(,a,b,),n,的,展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,即在,(,a+b,),n,的展开式中,所有二项式系数的和等于,2,n,.,性质.各二项式系数的和 即在(ab)n 的,16,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,【杨辉三角规律探究】,第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：1+,17,1,4,10,（,第,4,条斜线,）,1,3,6,（,第,3,条斜线,）,1,2,3,（,第,2,条斜线,）,(nr),【杨辉三角规律探究】,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,1410 （第,18,天空的幸福是穿一身蓝,森林的幸福是披一身绿,阳光的幸福是如钻石般耀眼,老师的幸福是因为认识了你们,愿你们努力进取，永不言败,天空的幸福是穿一身蓝,19,再见,祝同学们学习进步,再见祝同学们学习进步,20,
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