函数的单调性与导数-课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.1,函数的单调性与导数,y,x,0,1.3.1函数的单调性与导数yx0,（,4,）,.,对数函数的导数,:,（,5,）,.,指数函数的导数,:,（,3,）,.,三角函数,：,（,1,）,.,常函数：,(,C,),/,0,(,c,为常数,),；,（,2,）,.,幂函数：,(,x,n,),/,nx,n,1,复习：基本初等函数的导数公式,（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:,单调性的定义,对于函数,y,f(x),在某个区间上单调,递增,或单调,递减,的,性质,，叫做,f(x),在这个区间上的,单调性,，这个,区间,叫做,f(x),的,单调区间,。,知识回顾,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,)f(x,2,),，那么就说,f(x),在区间,D,上是,增函数,单调性的定义对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递,知识回顾,判断函数单调性有哪些方法？,比如：判断函数 的单调性。,x,y,o,函数在 上为,_,函数，,在 上为,_,函数。,图象法,定义法,减,增,如图：,知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢,?,(1)f(x)=2x,3,-6x,2,+7 (2)f(x)=e,x,-x+1 (3)f(x)=sinx-x,发现问题：,用单调性定义讨论函数单调性虽然,可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象,时。例如：,2x,3,-6x,2,+7,，是否有更为简捷的方法,呢？下面我们通过函数的,y=x,2,4x,3,图象来,考察,单调性,与,导数,有什么关系,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3,2,y,x,0,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数,y=x,2,4x,3,的图象：,总结,:,该函数在区间（，,2,）上,单减,切线斜率,小于,0,即其,导数为负,;,而当,x=2,时其切线,斜率为,0,即,导数为,0,.,函数在该点单调性发生改变,.,在区间（,2,，,+,）上,单增,切线斜率,大于,0,即其,导数为正,.,2yx0.再观察函数y=x24x3的图象：总,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x,2,y=x,3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系,.,结论：在某个区间,(,a,b,),内,如果,那么函数,在这个区间内,单调递增,;,如果,那么函数 在这个区间内,单调递减,.,如果在某个区间内恒有,f(x)=0,则,f(x),为常数函数,xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3,函数单调性与导数正负的关系,注意：应正确理解 “某个区间”的含义,它必是,定义域内的某个区间,。,函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解 “某个区间,几何意义：,关系：,思考,2,：,结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。,课本思考,思考,1,：,如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？,几何意义：关系：思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上,例,1,、已知导函数 的下列信息：,当,1x0;,当,x4,或,x1,时，,0;,当,x=4,或,x=1,时，,=0.,则函数,f(x),图象的大致形状是,(,）。,x,y,o,1,4,x,y,o,1,4,x,y,o,1,4,x,y,o,1,4,A,B,C,D,D,导函数,f,(x),的,-,与原函数,f(x),的增减性有关,正负,例1、已知导函数 的下列信息：当1x0,从而函数,f,(,x,)=,x,3,+3,x,在,x,R,上单调递增，,见右图。,例3、判断下列函数的单调性，并求出(1)f(x)=x,(2),f,(,x,)=,x,2,-,2,x,-,3,;,解：,=2,x,-,2=2(,x,-,1),图象见右图。,当,0,，即,x,1,时，函数单调递增；,当,0,，即,x,1,时，,函数单调递减；,(2)f(x)=x2-2x-3 ;解：,(3),f,(,x,)=sin,x,-,x,;,x,(0,p),解：,=cos,x,-,10,，,即 时，,函数单调递增；,(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;解：,图象见右图。,当,0,，,即 时，,函数单调递减；,(4),f,(,x,)=2,x,3,+3,x,2,-,24,x,+,1,;,图象见右图。当 0(B),1,a,1(D)0,a,1,A,2.函数y=a(x3-x)的减区间为 A,函数的单调性与导数-课件,函数的单调性与导数-课件,证明：令,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,.,f,(,x,)=2,e,2,x,2=2(,e,2,x,1),x,0,，,e,2,x,e,0,=1,，,2(,e,2,x,1),0,即,f,(,x,),0,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,在,(0,，,+),上是增函数,.,f,(0)=,e,0,1,0=0.,当,x,0,时，,f,(,x,),f,(0)=0,，即,e,2,x,1,2,x,0.,1+2,x,e,2,x,2.,当,x,0,时，证明不等式：,1+2,x,e,2,x,.,分析：假设令,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,.,f,(0)=,e,0,1,0=0,如果能够证明,f,(,x,),在,(0,，,+),上是增函数，那么,f,(,x,),0,，则不等式就可以证明,.,点评：,所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为,0.,证明：令f(x)=e2x12x.f(x)=2e2,3.,设,f(x)=ax,3,+x,恰有三个单调区间，试确定,a,的取值范围，并求其单调区间。,3.设f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a,提示,:,运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,(1),函数单调性与导数正负的关系,课堂小结,(2),利用导数研究函数单调性的步骤,(1)函数单调性与导数正负的关系课堂小结(2)利用导数研究函,