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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.5,三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第1课时 三角形内角和定理,八年级数学,北师版,7.5 三角形内角和定理第七章 平行线的证明第1课时,学习目标,2.,会运用三角形内角和定理进行计算,.,（难点）,1,.,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内,角和等于,180,.,（重点）,学习目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用,我的形状最小，那我的内角和最小,.,我的形状最大，那我的内角和最大,.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的,.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧,.,导入新课,情境引入,我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于,180,.,与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的,.,思考：,除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为,180,呢,?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角,.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明,.,从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,三角形的内角和定理的证明,一,探究：,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起,.,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可,验证结论,三角形三个内角的和等于,180,.,求证：,A,+,B,+,C,=180.,已知：,ABC.,证法,1,：过点,A,作,l,BC,，,B,=1.,(,两直线平行,内错角相等,),C,=2.,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+,BAC,=180,，,B,+,C,+,BAC,=180.,1,2,验证结论三角形三个内角的和等于180.求证：A+B+,证法,2,：,延长,BC,到,D,，,过点,C,作,CEBA,，,A,=1.,(,两直线平行，内错角相等,),B,=2.,(,两直线平行，同位角相等,),又,1+2+,ACB,=180,，,A,+,B,+,ACB,=180.,C,B,A,E,D,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，CBAED12,C,B,A,E,D,F,证法,3,：过,D,作,DE,AC,作,DF,AB,.,C,=,EDB,B,=,FDC.,(,两直线平行，同位角相等,),A,+,AED,=180,AED,+,EDF,=180,，,(,两直线平行，同旁内角相补,),A=,EDF.,EDB,+,EDF,+,FDC,=180,，,A,+,B,+,C,=180.,想一想：,同学们还有其他的方法吗？,CBAEDF证法3：过D作DEAC,作DFAB.想一想：,思考：,多种方法证明的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角,.,C,A,B,1,2,3,4,5,l,A,C,B,1,2,3,4,5,l,P,6,m,A,B,C,D,E,思考：多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做,辅助线,.,在平面几何里，辅助线通常画成,虚线,.,思路总结,为了证明三个角的和为,180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种,转化思想,是数学中的常用方法,.,作辅助线,知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅,例,1,如图，在,ABC,中，,BAC,=40,B,=75,AD,是,ABC,的角平分线，求,ADB,的度数,.,A,B,C,D,解：由,BAC,=40,AD,是,ABC,的角平分线，得,BAD,=,BAC,=20.,在,ABD,中，,ADB,=180-,B,-,BAD,=180-75-20,=85.,三角形的内角和定理的运用,二,例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=7,【变式题】,如图，,CD,是,ACB,的平分线，,DE,BC,，,A,50,，,B,70,，求,EDC,，,BDC,的度数,解：,A,50,，,B,70,，,ACB,180,A,B,60.,CD,是,ACB,的平分线，,BCD,ACB,30.,DE,BC,，,EDC,BCD,30,，,在,BDC,中，,BDC,180,B,BCD=,80.,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A5,例,2,如图，,ABC,中，,D,在,BC,的延长线上，过,D,作,DE,AB,于,E,，交,AC,于,F,.,已知,A,30,，,FCD,80,，求,D,.,解：,DE,AB,，,FEA,90,在,AEF,中，,FEA,90,，,A,30,，,AFE,180,FEA,A,60.,又,CFD,AFE,，,CFD,60.,在,CDF,中，,CFD,60,，,FCD,80,，,D,180,CFD,FCD,40.,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEA,基本图形,由三角形的内角和定理易得,A,+,B,=,C,+,D.,由三角形的内角和定理易得,1+2=,3+4.,总结归纳,基本图形由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.由三,例,3,在,ABC,中，,A,的度数是,B,的度数的,3,倍，,C,比,B,大,15,，求,A,，,B,，,C,的度数,.,解,:,设,B,为,x,，则,A,为,(3,x,),，,C,为,(,x,15),，从而有,3,x,x,(,x,15),180.,解得,x,33.,所以,3,x,99,，,x,15,48.,答：,A,，,B,，,C,的度数分别为,99,，,33,，,48,.,几何问题借助方程来解,.,这是一个重要的数学思想,.,例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，,【变式题】,在,ABC,中，,A,B,ACB,，,CD,是,ABC,的高，,CE,是,ACB,的平分线，求,DCE,的度数,解析：根据已知条件用,A,表示出,B,和,ACB,，利用三角形的内角和求出,A,，再求出,ACB,，,ACD,，最后根据角平分线的定义求出,ACE,即可求得,DCE,的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度,.,【变式题】在ABC中，A B ACB，C,解：,A,B,ACB,，,设,A,x,，,B,2,x,，,ACB,3,x,.,A,B,ACB,180,，,x,2,x,3,x,180,，得,x,30,，,A,30,，,ACB,90.,CD,是,ABC,的高，,ADC,90,，,ACD,180,90,30,60.,CE,是,ACB,的平分线，,ACE,90,45,，,DCE,ACD,ACE,60,45,15.,解：A B ACB，,在,ABC,中，,A,:,B,:,C,=1:2:3,，则,ABC,是,_,三角形,.,练一练：,在,ABC,中，,A,=35,，,B,=43,，则,C,=,.,在,ABC,中，,A,=,B,+10,C,=,A,+10,则 ,A,=,，,B,=,，,C,=,.,102,直角,60,50,70,在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,例,4,如图，,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向,.,从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是多少度？从,C,岛看,A,、,B,两岛的视角,ACB,是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中,.,北.A北.CB.东E例4 如图，C岛在A岛的北偏东50,解：,CAB,=,BAD,-,CAD,=80-50=30.,由,AD,/,BE,得,BAD,+,ABE,=180.,所以,ABE,=180-,BAD=180-80,=100,ABC,=,ABE,-,EBC,=100,-40=60.,在,ABC,中,，,ACB,=180-,ABC,-,CAB,=180-60-30,=90,答：从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是,60,从,C,岛看,A,B,两岛的视角,ACB,是,90.,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,解：CAB=BAD-CAD=80-50=3,【变式题】,如图，,B,岛在,A,岛的南偏西,40,方向，,C,岛在,A,岛的南偏东,15,方向，,C,岛在,B,岛的北偏东,80,方向，求从,C,岛看,A,，,B,两岛的视角,ACB,的度数,.,解：如图，,由题意得,BE,AD,BAD,=40,，,CAD,=15,，,E,B,C,=,80,，,E,BA,=,BAD,=40,，,BAC,=40+15=55,C,BA,=,E,B,C-,E,BA,=80,-40,=40,，,ACB,=180-,BAC,-,ABC,=180-55-40=85,D,E,【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南,当堂练习,1.,求,出下列各图中的,x,值,x,=70,x,=60,x,=30,x,=50,当堂练习1.求出下列各图中的x值x=70 x=60 x=30,2.,如图，则,1+2+3+4=_.,B,A,C,D,4,1,3,2,E,40,（,280,2.如图，则1+2+3+4=_,3.,如图，四边形,ABCD,中，点,E,在,BC,上,A,+,ADE,=180，,B,=78，,C,=60，求,EDC,的度数,解：,A,+,ADE,=180，,AB,DE,，,CED,=,B,=78,又,C,=60，,EDC,=180,-,（,CED,+,C,）,=180-（78+60）,=42,3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=1,4.,如图，在,ABC,中，,B,=42，,C,=78，,AD,平分,BAC,求,ADC,的度数,.,解：,B,=42，,C,=78，,BAC,=180-,B,-,C,=60,.,AD,平分,BAC,，,C,AD,=,BAC,=30，,ADC,=,180,-,B,-,C,AD,=72,.,4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分,5.,如图，在,ABC,中，,BP,平分,ABC,，,CP,平分,ACB,，若,BAC,=60，求,BPC,的度数,解：,ABC,中，,A,=60，,ABC,+,ACB,=120,BP,平分,ABC,，,CP,平分,ACB,，,PBC,+,PCB,=（,ABC,+,ACB,）=60,PBC,+,PCB,+,BPC,=180，,BPC=180-60=120,拓 展,5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，,【变式题】,你能直接写出,BPC,与,A,之间的数量关系吗？,解：,BP,平分,ABC,，,CP,平分,ACB,，,PBC,+,PCB,=（,ABC,+,ACB,）=60,PBC,+,PCB,+,BPC,=180，,BPC,=180-（,ABC,+,ACB,）,=1,8,0,-,（,180,-,A,）,=90,+,A,【变式题】你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？解：,课堂小结,三角形的,内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于,180,课堂小结三角形的证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内,
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