级下第26次课

,单击此处编辑母版标题样式,微分方程,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上一页,下一页,返回,一、线性方程,上方程称为,齐次的,.,上方程称为,非齐次的,.,线性的,;,非线性的,.,一阶线性微分方程,的标准形式,:,例如,齐次方程的通解为,1.,线性齐次方程,一阶线性微分方程的,解法,(,使用分离变量法,),2.,线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,实质,:,未知函数的变量代换,.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,1,例,2,如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段,PQ,之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利,(Bernoulli),方程的标准形式,方程为,线性微分方程,.,方程为,非线性微分方程,.,二、伯努利方程,解法,:,需经过变量代换化为线性微分方程,.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例,3,例,4,用适当的变量代换解下列微分方程,:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,三、小结,1.,齐次方程,2.,线性非齐次方程,3.,伯努利方程,第五节 全微分方程,一、全微分方程及其求法,二、积分因子法,三、一阶微分方程小结,一、全微分方程及其求法,1.,定义,:,则,若有全微分形式,例如,全微分方程,或恰当方程,所以是全微分方程,.,2.,解法,:,应用曲线积分与路径无关,.,通解为,用直接凑,全微分的方法,.,全微分方程,解,是全微分方程,原方程的通解为,例,1,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例,2,二、积分因子法,定义,:,问题,:,如何求方程的积分因子,?,1.,公式法,:,求解不容易,特殊地,:,2.,观察法,:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例,3,则原方程为,原方程的通解为,(,公式法,),可积组合法,解,将方程左端重新组合,有,例,4,求微分方程,原方程的通解为,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例,5,求微分方程,解,1,整理得,A,常数变易法,:,B,公式法,:,例,6,解,2,整理得,A,用曲线积分,法,:,B,凑微分法,:,C,不定积分,法,:,原方程的通解为,三、一阶微分方程小结,