二项式定理及其简单应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,二项式定理,(1),-,二项式定理及其简单应用,对于,a,b,，,(,a,b,),2,，,(,a,b,),3,，,(,a,b,),4,，,(,a,b,),5,等代数式，数学上统称为,二项式,，其一般形式为：,(a,b),n,（,nN*,）,二项式,由于在许多代数问题中需要将二项式展开，,因此，,二项式定理,研究的是,(,a,b,),n,展开后的表达式的一般结构。那么,(a,b),n,的展开式,是什么呢？,一、问题引入,什么是二项式，二项式定理研究的是什么？,二、讲授新课,问题,1,：,有,2,个口袋，每个口袋都同样装有,a,b,两个小球，现依次从这,2,个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,请分别用列举法、分类计数原理进行分析。,列举法,：,aa,，,ab,，,ba,，,bb,共,4,种,.,问题,1,：,有,2,个口袋，每个口袋都同样装有,a,b,两个小球，现依次从这,2,个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,分类计数原理,：,由于,b,选定后,a,也随之确定，因此：,第一类，两次都不取,b,（即两次都取,a,），有,1,种取法，,第二类，任一次取,b,（即另一次取,a,），有,2,种取法；,第三类，两次都取,b,（即两次都不取,a,），有,1,种取法。,共,4,种,.,问题,2,：请将,(a+b)(a+b),逐项展开并整理,思考,：问题,2,与问题,1,的处理过程之间有何,异同点,？,同：,展开的过程就是取球的过程；,异：,取球,ab,，,ba,属两种方法，展开式中的,ab,，,ba,可合并同类项。,整理后，各项系数,为各项在展开式中出现的次数，,即,取球问题中分类计数原理的各类结果数。,问题,4,：,有,3,个口袋，每个口袋都同样装有,a,b,两个小球，现依次从这,3,个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,请用分类计数原理进行分析,问题,5:,二项式定理,问题,6:,1),公式右边的多项式叫做,(a+b),n,的,，,其中 （,r=0,1,2,n,）叫做,；,2),叫做二项展开式的,通项,，用,T,r+1,表示，,该项是指展开式的第,项,.,二项展开式,二项式系数,r+1,二项式定理,：,三、二项式定理,2.,二项式系数规律：,3.,指数规律：,（,1,）各项的次数和均为,n,；,（,2,）二项式的第一项,a,的次数由,n,逐次降到,0,，,第一项,b,的次数由,0,逐次,升到,n.,1.,项数规律：,展开式共有,n+1,项,二项式定理,注意：,公式中,a,b,可以是单项式、多项式、任意实数。,（,3,）用,-b,代替,b,：,（,1,）令,a=1,，,b=x,：,（,2,）令,a=1,，,b=1,：,（二项式系数和公式）,四、理论迁移（一）,法二：先化简,通项,，后展开,法一：直接展开,例,1,（,1,）求 的展开式,.,（,2,）求 的展开式的第,4,项的系数,.,（,3,）求 的展开式中,x,的二项式系数,.,注：,一个二项展开式的某一项的,二项式系数,与这一,项的系数,是两个不同的概念。,活学活用（一）,四、理论迁移（二）,总结：,逆用,二项式定理可以,化简,多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢,活学活用（二）,各项的次数和均为,n,；,a,的指数从,n,逐项递减到,0,，是降幂排列；,b,的指数从,0,逐项递增到,n,，是升幂排列,.,五、课堂小结,2.,二项式系数规律：,3.,指数规律：,1.,项数规律：,展开式共有,n+1,项,二项式定理,4.,通项：,2.,课后思考：,今天是星期四，再过,7,天，,再过,15,天呢？,还是星期四；,谢谢，再见！,1.,探究,：,(a+b+c),n,展开并整理后，有哪些项？,3.,作业：,课本,P31 T1T4,课本,P37 T3T5,