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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,第一节 孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的,2,一、孤立奇点的概念,定义,如果,函数,在,不解析,但,在,的某一去心邻域,内处处解析,则称,为,的孤立奇点,.,例,1,是函数,的孤立奇点,.,是函数,的孤立奇点,.,注意,:,孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤,立奇点,.,2一、孤立奇点的概念定义 如果函数在 不解析,但在,3,例,2,指出函数,在点,的奇点特性,.,解,即在,的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为,总有,不是孤立奇点,.,所以,3例2 指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域,4,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类,:,1,可去奇点,1,可去奇点,;2,极点,;3,本性奇点,.,如果洛朗级数中不含,的负幂项,那末孤立奇点,称为,的可去奇点,.,1),定义,4孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况,5,说明,:,无论,在,是否有定义,补充定义,则函数,在,解析,.,5说明:无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.,6,2),可去奇点的判定,(1),由定义判断,:,的洛朗级数无负,在,如果,幂项则,为,的可去奇点,.,(2),判断极限,若极限存在且为有限值,则,为,的可去奇点,.,6 2)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负,7,如果补充定义,:,时,那末,在,解析,.,例,3,中不含负幂项,是,的可去奇点,.,7如果补充定义:时,那末在解析.例3 中不含负幂项,是的可去,8,例,4,说明,为,的可去奇点,.,解,所以,为,的可去奇点,.,无负幂项,另解,的可去奇点,.,为,洛必达法则,8例4 说明为的可去奇点.解 所以为的可去奇点.无负幂项另,9,2.,极点,其中关于,的最高幂为,即,级极点,.,那末孤立奇点,称为函数,的,或写成,1),定义,如果洛朗级数中只有有限多个,的,负幂项,92.极点 其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函,10,说明,:,1.,2.,特点,:,(1),(2),的极点,则,为函数,如果,例,5,有理分式函数,是二级极点,是一级极点,.,10说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果,11,2),极点的判定方法,的负幂项为有,的洛朗展开式中含有,限项,.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1),由定义判别,(2),由定义的等价形式判别,(3),利用极限,判断,.,112)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在,12,课堂练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数,.,答案,12课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案,13,本性奇点,3.,如果洛朗级数中含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,例如，,含有无穷多个,z,的负幂项,特点,:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,同时,不存在,.,13本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的,14,综上所述,:,孤立奇点,可去奇点,m,级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为,有限值,不存在,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,的最高幂,为,14综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存,15,二、函数的零点与极点的关系,1.,零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,的,m,级零点,.,例,6,注意,:,不恒等于零的解析函数的零点是孤立的,.,15二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析,16,2.,零点的判定,零点的充要条件是,证,(,必要性,),由定义,:,设,的泰勒展开式为,:,如果,在,解析,那末,为,的,级,如果,为,的,级零点,162.零点的判定零点的充要条件是证 (必要性)由定义:,17,其中,展开式的前,m,项系数都为零,由泰勒级数的系数,公式知,:,并且,充分性证明略,.,17其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:,18,知,是,的一级零点,.,课堂练习,是五级零点,是二级零点,.,知,是,的一级零点,.,解,(2),由于,答案,例,7,求以下函数的零点及级数,:,(1),(2),的零点及级数,.,求,18知是的一级零点.课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的,19,3.,零点与极点的关系,定理,如果,是,的,m,级极点,那末,就是,的,m,级零点,.,反过来也成立,.,证,如果,是,的,m,级极点,则有,当 时,函数,在,解析且,193.零点与极点的关系定理如果是的 m 级极点,那末就是,20,由于,只要令,那末,的,m,级零点,.,就是,反之如果,的,m,级零点,是,那末,当 时,解析且,所以,是,的,m,级极点,.,20由于只要令 那末的 m 级零点.就是反之如果 的 m,21,说明,此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法,.,例,8,函数,有些什么奇点,如果是极点,指出,它的级,.,解,函数的奇点是使,的点,这些奇点是,是孤立奇点,.,的一级极点,.,即,21说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,22,解,解析且,所以,不是二级极点,而是一级极点,.,是,的几级极点,?,思考,例,9,问,是,的二级极点吗,?,注意,:,不能以函数的表面形式作出结论,.,22解 解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点,23,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类,;,掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征,;,熟悉零点与极点的关系,.,23四、小结与思考 理解孤立奇点的概念及其分类,24,思考题,24思考题,25,思考题答案,放映结束，按,Esc,退出,.,25思考题答案放映结束，按Esc退出.,
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