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2024-2025学年第一学期10月阶段性检测卷高二数学总分：150分 时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为A. B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.在四面体中，为ABC的重心，在上，且，则（ ）A. B. C.D.4.已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（）A.B. 48C. 36或48D. 或485.若直线与直线的交点在第一象限，则直线的倾斜角取值范围是（）A B C D6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，且，则的长等于（）A B C4 D27.如图，在三棱锥中，已知，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分9.下列说法正确的是（ ）A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.当点到直线的距离最大时，的值为D.已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是10.已知点，且点在直线：上，则（ ）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.的最小值为 D.若，则的最小值为211.如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）A.三棱锥的体积为定值 B.存在线段，使平面平面C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量.若,则的值是_.13.的顶点坐标分别为、则角的平分线所在的直线方程为_.(用一般式表示)14.直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 四.解答题15.（13分）已知平面内两点，（直线方程最后结果用一般式表示）(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程；(3)已知直线过点，且点到的距离为，求直线的方程16.（15分）如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上，(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求17. （15分）在斜三棱柱中，.(1) 证明：在底面上的射影是线段的中点；(2)求直线与平面所成角的余弦值18.（17分）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.(1)若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；(2)若，求的面积的最大值；(3)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.19.（17分）如图，直角梯形ACDE 中,、M 分别为AC、ED 边的中点，将ABE 沿BE 边折起到ABE 的位置，N 为边AC 的中点(1)证明：MN平面ABE；(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面NBM与平面BEDC 夹角的正切值参考答案和解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为ABCD【解答】解：直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为，直线的斜率为，直线在轴上的截距为3，直线的方程为，即故选：2.“”是“直线和直线平行”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围【解答】解：当时，两直线分别为：，两直线斜率相等，则平行且不重合若两直线平行且不重合，则或，综上所述，是两直线平行的充分不必要条件故选：3. 在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，故选：C.4已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（）AB48C36或48D或48【答案】D【解析】将改写为，因为两条直线平行，所以由，解得或，所以或48故选：D.5若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A B C D【答案】B【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为，直线的斜率，此时倾斜角为；直线的斜率不存在，此时倾斜角为；所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，且，则的长等于（）ABC4D2【答案】C【详解】由二面角的平面角的定义知，由，得，又，所以，即.故选：C.7. 如图，在三棱锥中，已知，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】取的中点为，连接因，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面因为，所以如图建立空间直角坐标系，则所以所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A8. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱的所有棱长均为1，则，因动点P在线段上，则令，即有点，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：C二多选题9.下列说法正确的是（）A若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C当点到直线的距离最大时，的值为D已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ACD【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可的，所以，直线过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，因为，则，C对；对于D选项，如图，所以由图可知，或，则斜率的取值范围是，D对.故选：ACD.10已知点，且点在直线：上，则（）A存在点，使得B存在点，使得C的最小值为D若，则的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，若，则，去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；故选：BCD11如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）A.三棱锥的体积为定值B.存在线段，使平面平面C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是【答案】ACD【解析】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变，即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故A正确；如图所建立的空间直角坐标系，则,可设，则，设平面的一个法向量为，则，取，即，显然，若平面平面，则，此时G不在线段上，即B不成立；易知，设直线与所成角为，则，显然时，即取得最小值，此时，故C正确；如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作，延长交延长线于I，连接IN交AB于M，设，易知，所以，由，所以D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知向量5，1，2)，若平面ABC，则x的值是_【答案】【详解】平面，存在事实，使得，解得故答案为13.ABC的顶点坐标分别为A(4，3)，B(-2，-5)，C(8，0)，则角A的平分线所在的直线方程为_.14直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 【答案】/【详解】取交点于点，因为直四棱柱的所有棱长都为，所以，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以A3,0,0，设平面的法向量为n=x,y,z，则有，令，则，所以，因为点在四边形及其内部运动，所以设，又因为，所以，即，则，设点到平面的距离为，则有，又因为，所以时，即点到平面的距离的最小值为 .故答案为：.四.解答题15已知平面内两点，(1)求过点且与直线垂直的直线的方程(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程（3）已知直线l过点A,且点B到l的距离为4，求直线l的方程【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，即5分（2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上，故设点为，由可得：，解得或，10分所以点坐标为或，则直线的方程为或13分（3）或16. 如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上， （1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求【小问1详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，又不在同一条直线上，.【小问2详解】设，则，设平面的法向量，则，令 ，得，设平面的法向量，则，令 ，得，化简可得，解得或，或，.17.在斜三棱柱中，.(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点；(2)求直线AC1与平面所成角的余弦值【详解】（1）法一：取线段的中点，连接，由题意，故，则，于是，而，则，为等边三角形且为的中点，故，且面，则面，面，且为的中点，又，且面，面，面，则，又，且面，平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；法二：取线段的中点，设，由题意得，故，由，故，则，代入化简，得，即，同理，又，面，平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；（2）法一：设，作平面，连接，则即为直线AC1与平面所成角，在中，由（1）得，由（1）易知：平面与之间的距离为1，由，则，解得，在中，直线AC1与平面所成角的余弦值为.法二：如图，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，则，故，设面的法向量，则，令，即，又，设线AC1与面所成角为且，则，直线AC1与平面所成角的余弦值为.18如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；（2）若，求的面积的最大值；（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.【解析】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，的面积为，当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，令，解得，联立，可得，由得或，由得或，所以或所以的面积令，则，则因为，所以当时，面积最小，此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.（2）下面用弧度表示角，设，则，由正弦定理得，所以，因此当即时，的面积的最大，最大值为.（3）因为，所以，所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（），当直线斜率存在时，即时，直线方程为，整理可得（）（满足，所以对都成立），同时除以得，又因为，所以代入整理得，对于任意都成立，所以，解得，所以直线过定点，定点坐标为.19如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将ABE 沿BE 边折起到ABE 的位置，N 为边AC 的中点(1)证明：MN平面ABE；(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，直角梯形中，四边形为正方形，为的中点， ，四边形为平行四边形，平面，不在面内，平面.6分（2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，面，平面，8分，二面角为锐二面角，为等边三角形，则，设为平面的法向量，易知为平面的法向量，令12分设平面与平面的夹角为， ，平面与平面的夹角的正切值为.17分
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