河南省郑州市2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学试题[含答案]

2024-2025学年上学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）请点击修改第卷的文字说明一、单选题1若集合，则（ ）A.B.C.D.2若复数z满足，则（ ）A.1B.C.D.163已知命题p：，；命题q：，则（ ）A.p和q都是真命题B.和q都是真命题C.p和都是真命题D.和都是真命题4已知，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.5已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，则（ ）A.0B.1C.2D.20256若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（ ）A.B.C.D.7已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.，8已知函数（），若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、多选题9定义在上的偶函数，满足，则（ ）A.B.C.D.10函数（）的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是（ ）A.直线是函数的图象的一条对称轴B.函数在上单调递减C.函数的图象向右平移个单位可得到的图象D.函数在上的最大值为111下列结论正确的是（ ）A.若是奇函数，则必有且B.函数的单调递减区间是C.是定义在上的偶函数，当时，则当时，D.若在上是增函数，且，则第卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明三、填空题12.13已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为14已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数m的取值范围为.四、解答题15已知不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）求.（2）若不等式的解集为，求a，b的值.16如图，已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求A的值；（2）若，M为边BC上一点，且，求AM的长17已知向量，（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求的值域18已知函数，.（1）当时，求的严格增区间；（2）若恒成立，求a的值；19对于二次函数（），若，使得成立，则称为二次函数（）的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.参考答案及其解析一、单选题1.【答案】D【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到，解一元二次不等式得到，由交集概念求出答案.【详解】集合，则.故选：D.2【答案】A【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设（a，），则，解得，所以，所以，解法二：因为，所以，解法三：方程两边同时平方，有，所以，故选：A.3【答案】B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题，对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题，综上，和q都是真命题.故选：B.4【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x、y、z三个数与0、1的大小关系，由此可得出x、y、z三个数的大小关系.【详解】，又，即.因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.5【答案】C【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得a，即可求解.【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，又为偶函数，所以关于直线对称，所以为周期函数且周期，.故选：C.6【答案】A【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，在上单调递增，满足题设；当时，在上单调递增，此时只需，即；综上，.故选：A7【答案】A【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出a，再利用导数求出单调递减区间.【详解】函数，求导得，则，由曲线在点处的切线方程为，得，解得，于是，由，得，而，解得，所以函数在内的单调递减区间是.故选：A8【答案】B【分析】将化简为，根据方程可知或，根据整体的范围可知需满足，解不等式得到的取值范围.【详解】，令，则，或，在上有且只有四个实数根，解得：.故选：B.二、多选题9【答案】AC【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.【详解】由，令，则，又为偶函数，则，A对；由上，得，在式，将代换x，得，B错；在式，将2x代换x，得，C对；由且，即周期为2且关于对称，显然是满足题设的一个函数，此时，D错.故选：AC10【答案】AC【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由，由是函数图象的一个对称中心，即，解得，又，所以，所以，对于A选项：令，解得，当时，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确；对于B选项：令，解得，即函数的单调递减区间为，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误；对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确；对于D选项：当时，所以函数，即最大值为，D选项错误；故选：AC.11【答案】CD【分析】根据奇函数的性质判断A，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B，根据奇函数性质求解析式判断C，根据单调性比较大小即可判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，由奇函数性质知，事实上当时，即是奇函数也是偶函数，故A错误.对于B，因为，所以函数的单调递减区间是，故B错误.对于C，当时，则，即，故C正确.对于D，因为，所以.又因为在上是增函数，所以，所以，所以，故D正确.故选：CD三、填空题12【答案】【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值【详解】因为所以，所以，故答案为：.13【答案】【分析】构造代数式，利用基本不等式即可得到最小值.【详解】，且a，b为正实数，当且仅当时，即，时，取“”，则.故答案为：14【答案】【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解.【详解】设曲线上的切点坐标为，又，则公切线的方程为，即设曲线上的切点坐标为，又，则公切线的方程为，即，所以，消去，得若存在两条不同的直线与曲线，均相切，则关于的方程有两个不同的实数根设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，当时，且，则的大致图象如图所示，由图可知，解得，即实数m的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数.四、解答题15【答案】（1）（2），【分析】（1）分别解不等式得集合A，B，后可求交集；（2）由（1）可得的根，后由韦达定理可得答案.【详解】（1）解得，即，解得，即（2）由的解集为，3是方程的两个根，此时满足题意.故，.16【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理可得，从而可得，即，即可求解；（2）利用余弦定理及向量的数量积求出，利用平面向量基本定理表示出，再平方求解【详解】（1）由题意知，又，故，而，则（2）在中，故又，所以，所以，故.故17【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算；（2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以（2），因为，所以，所以，所以的值域为18【答案】（1）；（2）1【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间.（2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可.【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，由，得，所以的严格增区间为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，在上单调递增，当时，不符合题意；当时，由，得，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，由恒成立，得恒成立，令，求导得，当时，当时，于是函数在上单调递增，在上单调递减，因此，所以.19【答案】（1）不动点为和1；（2）6.【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解；（2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）令，可得，可得，解得，所以二次函数的不动点为和1.（2）二次函数有两个不相等的不动点，且，则方程有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，且，因为，即，解得，可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.