多准则决策及其在数学建模中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多准则决策及其在数学建模中的应用,清华大学 姜启源,多准则决策概述,多属性决策的一般步骤,多属性决策应用过程中几种主要方法的比较,层次分析法与,多属性决策,和,多属性效用理论,的关系,提要,多属性决策（MADM,Multiple Attribute Decision Making）,多准则决策（MCDM,Multiple Criteria Decision Making）,多目标决策（MODM,Multiple Objective Decision Making）,【多属性效用理论（MAUT,Multi-Attribute Utility Theory）】,MADM,：,为了一个特定的目的在若干备选方案中确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排序，或者给出优劣程度的数量结果,而方案的优劣由若干属性给以定量或定性的表述。,MODM,：,为了若干特定的（一般是相互矛盾的）目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的，而备选方案集合由一些约束条件给定。,MODM又称多目标优化或目标规划,多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述,多属性决策（MADM）与多目标决策（MODM）应用领域非常广泛,MODM,：,选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘客和航空公司双方利益的航班安排、2011B题交警平台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安排方案要考虑公平和效率两方面,、,2009 D题会议筹备要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等,MADM,：,国家综合实力评价、大学排名榜、公司新厂址选择、教师绩效考核,、,2011B题各区交警平台设置的合理性评价,、,2010D题学生宿舍设计方案的评价,、,2009B题病床安排的合理性指标,多属性决策(,MADM)的一般步骤,要素：,备选方案组与属性集合、决策矩阵、属性权重、综合方法.,备选方案组,：由实际问题决定.,1.备选方案组与属性集合,确定,属性集合,的原则：,全面考虑，选取影响力（或重要性）强的.,属性间尽量独立（至少相关性不太强）.,不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.,若数量太多（如大于7个），应将它们分层.,尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次.,2决策矩阵备选方案对每一属性的属性值,例 选择战斗机(,4种型号),备选,方案,属性,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,X,6,A,1,A,2,A,3,A,4,X,1,最高速度(马赫),X,2,航程(千海里),X,3,最大载荷(千磅),X,4,价格(百万美元),X,5,可靠性,X,6,机动性.,各方案对属性的定量取值或定性表述,2.0,2.5,1.8,2.2,1.5,20,5.5,2.7,18,6.5,2.0,21,4.5,1.8,20,5.0,中,很高,低,中,高,高,中,中,对,X,5,X,6,表述的量化：“很高”、“高”、“中”、“低”、“很低”记分9,7,5,3,1，,设有,m,个备选方案,A,1,A,2,A,m,n,个属性,X,1,X,2,X,n,决策矩阵,例 选择战斗机,A,i,对,X,j,的取值,d,ij,属性值,决策矩阵（属性值）的获取,调查、度量各方案对属性的取值(偏于客观),通过,成对比较，从正互反阵解出特征向量,(偏于主观)层次分析法,d,ij,作,比例,尺度变换,决策矩阵标准化,R,的列最大值为1,最大化,R,的列和为1,归一化,R,的列模为1,模一化,d,ij,作,区间,尺度变换,R,的列,最小值为0,（最大值为1）,属性值的物理意义(包括量纲)各不相同,效益型属性值单调增,决策矩阵标准化时先对费用型属性值作,倒数变换,:,属性值(对决策优劣)的性质,单调性,线性性,对于明显呈非线性的属性值（如边际效益递减），需先拟合合适的函数作变换.,归一化,最大化,费用型属性值单调减,注意非单调性属性的标准化处理,3属性权重,X,1,X,2,X,n,的权重,，,属性权重的获取,层次分析法：用,成对比较矩阵解出特征向量,偏于主观,根据决策目标通过经验、调查等先验地给出,信息熵法(借用信息论中熵的概念),偏于客观,熵 信息论中衡量,不确定性,的指标，,信息量,的(概率),分布,越趋于一致，不确定性越大.,将归一化决策矩阵,R,列向量,A,1,A,m,对,X,j,的,属性值,视为信息量的分布,A,1,A,m,对属性,X,j,的熵为,r,ij,越一致,E,j,越接近1,定义,X,j,对于方案的,区分度,可用,r,ij,的均方差或极差代替,F,j,属性权重,信息熵法,例,不易区分,方案优劣,以上方法的综合,记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为,综合权重,根据决策者对,w,(1),w,(2),的偏好程度进行调节,或,各种方法的详细步骤参看：,Hwang C.L.and Yoon K.,Multiple Attribute Decision MakingMethods and Applications,.Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag,1981,4综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策,徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法.,北京 清华大学出版社 2006,粗糙,模糊,确定,随机,4综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策,按照决策者掌握的,属性信息量,的多少将方法分类,没有任何属性信息,占优法,最大最小法,给定各属性的最低水平,合取法,析取法,已知各属性权重的顺序,字典序法,排列法,已知各属性权重的数值,简单加权和法,加权积法,线性分配法,接近理想解的排序法,删除选择法,1.简单加权和法（SAW,Simple Additive Weighting,）,隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.,方案,A,i,对,n,个属性的综合取值为,对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、最大化），得到的结果会有差别,.,或,2.加权积法（WP,Weighted Product,）,可以直接用方案对属性的原始值,d,ij，,不需要标准化,若效益型属性的权重取,正,值，则费用型属性的权重应取,负,值.,将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：,3.接近理想解的排序法（TOPSIS）,n,个属性、,m,个方案视为,n,维空间中,m,个点的几何系统,每个点的坐标由 确定,在空间中定义,欧氏距离,，决策矩阵,模一化,正理想解,由所有最优加权属性值构成,负理想解,由所有最劣加权属性值构成,定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标,相对接近度,备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定,4.删除选择法（ELECTRE）,比较每一对方案,A,i,A,k,的加权属性值,v,ij,和,v,kj,按照,v,ij,v,kj,和,v,ij,v,kj,将属性集分,为一致集和矛盾集.,利用属性值和权重定义,一致性指标,c,ik,和矛盾性指标,d,ik,c,ik,越大,d,ik,越小,A,i,越优于,A,k,.,将欧氏距离改为,街区距离,且决策矩阵,归一化,或,最大化,TOPSIS,方法等价于,简单加权和法,的情况:,确定度量,c,ik,d,ik,的阈值,时,A,i,优于,A,k,由此决定删除和选择的方案.,应用过程中几种主要方法的比较,方法,方案,SAW,WP,TOPSIS,ELECTRE,A,1,2,2,1,1,A,2,4,4,4,3,A,3,1,1,2,1,A,4,3,3,3,3,例 选择战斗机,方案排序基本一致：,A,3,，,A,1,优于,A,4,，,A,2,4种方法对方案的优劣排序,方法方案,SAW,(,R,最大化),SAW,(,R,归一化),WP,TOPSIS,A,1,0.266,0.269,0.269,0.350,A,2,0.226,0.223,0.219,0.146,A,3,0.272,0.274,0.276,0.334,A,4,0.236,0.234,0.236,0.170,用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果,例 选择战斗机,A,3,与,A,1,（,A,4,与,A,2,）差别不大，,A,3,，,A,1,明显优于,A,4,，,A,2,用各种方法得到的结果没有显著差别,几种方法的集成,“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”,甄选,：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优的、不可接受的方案删除.,排序或计算,：分别利用SAW,WP,TOPSIS等对方案按照优劣排序或计算数值结果.,集成,：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.,平均法,Borda数法,加权和法,与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.,简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数多属性决策问题.,一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更全面的TOPSIS,ELECTRE方法，或者将几种方法加以集成.,多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论.,应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.,结论与建议,AHP的基本步骤,1.建立层次分析结构模型,2.构造成对比较阵,3.计算权向量（主右,特征向量,）并作一致性检验,4.由各层的权向量计算组合权向量,层次分析法(AHP)与,多属性决策(,MADM)和,多属性效用理论(,MAUT)的关系,AHP的,提出,（20世纪80年代）比MAUT稍晚.,AHP的,应用,领域与MAUT相近.,AHP可视为MADM的方法之一，MADM的加权和法是AHP的,特例,.,AHP与MAUT在学术上的,争论,一直存在.,AHP应用中的几个问题,1.决策矩阵中属性值的获得,相对度量对每一准则由各方案的,成对比较,阵和特征向量得到.,绝对度量按每一准则的特性划分为若干等级，各方案“对号入座”,博士,硕士,学士,高中,初中,教育,经验,品质,职员晋升,杰出,丰富,中等,较少,无,优秀,良好,中等,偏下,差,按每位职员的教育、经验、品质、情况划入相应的等级,适用于了解不够的新问题,适用于了解充分的老问题,2.决策矩阵中属性值的标准化,分配模式,(Distributive Mode),即,归一化,当某一方案的属性值改变时，其他方案的属性值随之改变,理想模式,(Ideal Mode),即,最大化,任一方案的属性值独立于标准方案外的其他方案,决策者关心每个方案支配（占优）其他方案的程度,决策者关心每个方案相对标准方案的优劣,getting a well performing car,getting a car that stands out among the alternatives,purchased by co-workers,当新方案加入（或旧方案退出）时原方案的优劣排序是保持还是会逆转？,3.方案排序的保持或逆转（准则权重不变）,模拟实验（29个准则、29个方案加入一新方案，每种情况模拟1000次）表明：,对,分配模式,(DM)原方案属性值改变，,排序可能改变,.,对,理想模式,(IM)原方案,排序不变,，但当新方案属性值高于原方案时，原方案排序,可能改变,.,原方案优劣排序不变的占80%以上.,用绝对量测，新方案加入时原方案优劣排序不变.,排序保持或逆转的算例,准则,方案,X,1,w,1,=0.6,X,2,w,2,=0.4,A,5,1,B,1,5,准则,方案,X,1,w,1,=0.6,X,2,w,2,=0.4,A,5,1,B,1,5,C,(,=A,),5,1,DM,IM,DM,IM,准则,方案,X,1,w,1,=0.6,X,2,w,2,=0.4,A,5,1,B,1,5,C,8,1,IM,属性值可大于1,逆转,保持,逆转,保持,4.,分配模式(DM)与理想模式(IM)的选用,分配模式,(DM)用于资源固定的,封闭系统,，新用户（方案）的加入会稀释资源，需重新分配.,理想模式,(IM)用于资源不定的,开放系统,，新用户的