3-5二维随机变量函数的概率分布1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,）,3,）,在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的,分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命,分别为随机变量,X,Y,，,它们相互独立同分布。我们,想知道系统寿命,Z,的分布。,这就是求,随机变量函数的分布问题。,2,）,随机变量函数的分布,3.4,多维,随机变量函数的分布,一般情形求随机变量函数分布的方法,和的分布,最值分布,离散型随机变量、,一、二维随机变量函数的概念,定义,：,设,Z=g,(,X,Y,),是定义在随机变量,(,X,Y,),一切可能取值,(,x,y,),的集合上的函数，如果对于,(,X,Y,),每一对取值,(,x,y,),，另一个,随机变量,Z,相应地取值为,z=f,(,x,y,),于是确定一个随机变量,Z,，称,Z,为,(,X,Y,),的函数。,记为：,Z=,g,(,X,Y,).,说明：,二维随机变量,(,X,Y,),的函数,Z=g,(,X,Y,),是一维随机变量，,若设,(,X,Y,),的联合概率密度函数为,z=f,(,x,y,),则二维随机变量,(,X,Y,),的函数,Z=g,(,X,Y,),是一维连续型随机变量,.,随机变量函数的分布,解题步骤,：,已知二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度为,f,(,x,y,),g,(,x,y,),是二元连续函数，欲求随机变量,Z=g,(,X,Y,),的,概率密度。,随机变量函数的分布,二、和,Z=X+Y,的分布,1.,离散型随机变量和的分布,例,1,随机变量函数的分布,设二维离散型随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,令,:,Z=,X+Y,试求,随,机变量,Z,的分布律,.,解,由随机变量,X,Y,的取值,知,Z,的可能取值是,1,2,3.,随机变量函数的分布,由此得,Z=,X+Y,的分布律,2.,连续型随机变量和的分布,x+y=z,设,(,X,Y,),是二维连续型随机变量，其联合概率密度,随机变量函数的分布,函数为,f,(,x,y,),令：,Z,=,X+Y.,试求随机变量,Z,的密度函,数,f,Z,(,z,),.,1.,计算随机变量,Z,=,X+Y,的分布函数,F,Z,(,z,),.,同理可得,（,1,）,（,2,）,随机变量函数的分布,利用分布函数与密度函数的关系,对,F,Z,(,z,),求导,得,Z=X+Y,的密度函数,:,随机变量函数的分布,如果随机变量,X,Y,相互独立,则有,于是,(1)(2),式可写为,:,我们称上式为函数,f,X,(,x,),与,f,Y,(,y,),的卷积,.,记为,:,f,X,(,x,)*,f,Y,(,y,).,例,2,设随机变量,X,和,Y,相互独立，,X,服从区间,(0,1,）,上的均匀分布，,Y,服从,=1,的指数分布,.,令,Z=X+Y,试求随机变量,Z,的密度函数,.,随机变量函数的分布,解,由题意,知,:,设随机变量,Z=X+Y,的密度函数,f,Z,(,z,),则有,随机变量函数的分布,(1),若,z,0,则,f,Z,(,z,)=0,不可能事件的概率等于,0.,(2),若,0,z,1,(3),若,z,1,于是得随机变量,X+Y,的密度函数为,例,3:,设随机变量,X,和,Y,相互独立，,X,N,(0,1),Y,N,(0,1),随机变量函数的分布,令,Z=X+Y,试求随机变量,Z,的密度函数,.,解,由题意,知,:,设随机变量,Z=X+Y,的密度函数,f,Z,(,z,),则有,结论,1,：,结论,2,：,随机变量函数的分布,如果,随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立，且,Y,N,(,2,2,2,),令,Z=X+Y,则,Z,N,(,1,+,2,1,2,+,2,2,).,X,i,N,(,i,i,2,)(,i,=1,2,n,),又,a,1,a,2,a,n,为,n,个,实常数,令,如果,随机变量与,Y,相互独立，且,X,N,(,1,1,2,),三、,极值分布,设,(,X,Y,),是二维独立随机变量，其联合分布函数,X,与,Y,相互独立,随机变量函数的分布,为,F,(,x,y,),边缘分布函数分别为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,).,X,与,Y,相互独立,推论：,随机变量函数的分布,设,X,1,X,2,X,n,是,相互独立的连续型随机变量，,X,i,的分布函数是,F,i,(,x,),令,试求,随机变量,M,与,N,的分布函数,.,解,设,随机变量,M,与,N,的分布函数分别为,F,M,(,x,),和,F,N,(,x,).,X,与,Y,相互独立,随机变量函数的分布,X,与,Y,相互独立,例,4,设随机变量,X,和,Y,相互独立,，,XB,(1,p,),YB,(1,p,),随机变量函数的分布,和,的联合分布律与,和,的各自边缘分布律,，,并,试求随机变量,判断,和,是否相互独立,.,解,由,随机变量,X,与,Y,的取值都为,0,1,的取值为,0,1,随机变量函数的分布,于是,和,的联合分布律与,和,的各自边缘分布律,:,同理,因为,0,p,1,所以,:,随机变量,和,不独立,.,例,5:,设有,5,个相互独立工作的电子装置，它们的寿命,X,i,(,i,=1,2,3,4,5),都服从参数为,的指数分布,.,1.,若将这,5,个电子装置并联，组成整机，求此整机的,寿命,M,的分布。,2.,若将这,5,个电子装置串联，组成整机，求此整机的,寿命,N,的分布。,随机变量函数的分布,解,X,i,服从参数为,的指数分布,.,X,i,的概率密度函数为,:,X,i,的分布函数为,:,5,个电子装置并联时,若有一个工作，则整机就工作,其概率密度函数为：,M,的分布函数为：,随机变量函数的分布,1.,整机的寿命,X,1,X,2,X,5,独立同分布,2.,整机的寿命,N,的分布函数为：,N,的概率密度函数为：,随机变量函数的分布,5,个电子装置串联时,有一个不工作，则整机就不工作,X,1,X,2,X,5,独立同分布,