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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,4.3 傅里叶变换的性质,4.3.1 线性性质,其中,a,和,b,均为常数。,利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和，如将阶跃信号分解为直流信号与符号函数之和。,11/14/2024,1,4.3 傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质其中a和b均为,4.3.2 时域移位性质,式中,t,0,为任意实数,证明：,令,v=t,-,t,0,，则,d,v=,d,t,，代入上式可得,信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。,11/14/2024,2,4.3.2 时域移位性质式中t0为任意实数 证明：令v,11/14/2024,3,10/6/20233,4.3.3 时域-频域对称性质（奇偶,虚实）,11/14/2024,4,4.3.3 时域-频域对称性质（奇偶,虚实）10/6/20,11/14/2024,5,10/6/20235,11/14/2024,6,10/6/20236,为,的偶函数,为,的奇函数,为,的奇函数,11/14/2024,7,为的偶函数 为的奇函数 为的奇函数 10/6/2023,幅值的量度单位/频率的量度单位,若,x,(,t,)是,t,的实偶函数，则,X,(j,)必为,的实偶函数。,X,(j,)=R(,),若,x,(,t,)为实奇函数，则,X,(j,)必为,的虚奇函数。,X,(j,)=jI(,),11/14/2024,8,幅值的量度单位/频率的量度单位若x(t)是t的实偶函数，,互为复共轭对称,11/14/2024,9,互为复共轭对称10/6/20239,4.3.4.1 时域微分性质,若,则,11/14/2024,10,4.3.4.1 时域微分性质若 10/6/202310,例,试利用,微分特性,求矩形脉冲信号的,频谱函数,。,解：,由上式利用,时域微分特性,，得,因此有,11/14/2024,11,例 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解：,4.3.4.2 时域积分性质,若信号不存在直流分量即,X,(0)=0,11/14/2024,12,4.3.4.2 时域积分性质若信号不存在直流分量即X(0)=,4.3.5 时域-频域尺度变换性质,证明:,令,v,=,at,，则,d,v,=,a,d,t,，代入上式可得,时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。,11/14/2024,13,4.3.5 时域-频域尺度变换性质证明:令 v=at，则,展缩特性,11/14/2024,14,展缩特性10/6/202314,4.3.5 时域-频域尺度变换性质,如果,那么,当,a,=-1时，得到,x,(,t,)的折叠函数,x,(-,t,)，其频谱亦为原频谱的折叠，即,x,(-,t,),X,(-,j,),尺度特性说明，,信号在时域中压缩，频域中就扩展；,反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的,脉宽与频宽成反比,。,11/14/2024,15,4.3.5 时域-频域尺度变换性质如果那么当a=-1时，得,一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。由于信号在时域压缩（扩展）时，其能量成比例的减少（增加），因此其频谱幅度要相应乘以系数1/|,a,|。也可以理解为信号波形压缩（扩展）,a,倍，信号随时间变化加快（慢）,a,倍，所以信号所包含的频率分量增加（减少）,a,倍，频谱展宽（压缩）,a,倍。又因能量守恒原理，各频率分量的大小减小（增加）,a,倍。下图表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。,11/14/2024,16,一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。由于信号,图 矩形脉冲及频谱的展缩,11/14/2024,17,图 矩形脉冲及频谱的展缩10/6/202317,联合使用上述两性质：,11/14/2024,18,联合使用上述两性质：10/6/202318,4.3.6 时域-频域对偶性质,含义：信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的关系。,(,注意：,这种对称关系只适用于偶函数,。),11/14/2024,19,4.3.6 时域-频域对偶性质含义：信号的波形与信号的频谱的,频域微分特性,若,将上式两边同乘以,j,得,证明：,11/14/2024,20,频域微分特性若将上式两边同乘以j得 证明：10/6/2023,4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理,那么,如果,帕斯瓦尔定理，它表明信号的时域能量等于信号频域的能量，即信号经傅氏变换其总能量保持不变，符合,能量守恒定律,。,11/14/2024,21,4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理那么如果,由于信号,x,(,t,),为实数，故,X,(,-,j,w,)=,X,*,(j,w,),，,因此上式为,证明,物理意义,：非周期能量信号的归一化能量,在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。,11/14/2024,22,由于信号x(t)为实数，故X(-jw)=X*(jw)，因此,非周期信号的能量谱,帕什瓦尔能量守恒定理：,定义,单位角频率的信号能量,为,能量频谱密度函数,，简称,能量频,。,11/14/2024,23,非周期信号的能量谱 帕什瓦尔能量守恒定理：定,例,7,计算 。,解：,由,根据,Parseval,能量守恒定律,，可得,11/14/2024,24,例7 计算 。解：由,小结,傅氏变换性质（定理）,1.,线性特性,2.,对称互易特性,3.,展缩特性,4.,时移特性,5.,时域微分特性,6.,积分特性,11/14/2024,25,小结傅氏变换性质（定理）1.线性特性10/6/20,
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