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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的数量积,问题,1:,我们学习了向量的哪些运算？,这些,运算的结果,是什么？,平面向量的,加法,、,减法,和,数乘,三种运算；,运算的结果仍是,向量,问题,2:,一个物体在力 的作用下发生了位移 ，,那么该力对此物体所做的功为多少？,其中力 和位移,是向量，,是 与 的夹角，而功,W,是数量,.,将公式中的力与位移推广到,一般向量,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。,出现了向量的一种新的运算,O,A,B,a,b,1,、向量的夹角,O,A,B,b,a,O,A,B,b,a,O,A,B,a,b,规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。,如图,等边三角形,ABC,中,求,求（,1,）,AB,与,AC,的夹角；,（,2,）,AB,与,BC,的夹角。,A,B,C,平移向量至始点重合,课堂练习1,D,O,A,B,b,a,2,、向量的数量积的定义,一般地，如果两个非零向量 的夹角,为,那么我们把,叫做向量 的数量积，记作,，,即,2,、向量的,数量积,是一个,数量,不是向量。,向量的数量积的说明,3,、规定,1,、不能写成 且 不能省略。,当 为非零向量时，数量积的正负,由夹角余弦值决定。,4,、特别记,如图所示，等边三角形,ABC,的边长为,1,，求,（,1,）的数量积；,（,2,）的数量积；,A,B,C,课堂练习2,3,、向量的数量积的重要性质,即,两个重要的充要条件,3,、向量的数量积的重要性质,即,135,0,直角,例,2,、填空,(,),(,),(),(),(,),1,、已知 均为非零向量,试判断下列说法是否正确？,课堂练习3,课堂练习3,（）,A,、锐角三角形,C,、钝角三角形,D,、不能确定,B,、直角三角形,（）,D,C,A,B,C,问题,:,（,1,）实数乘法有哪些运算律？,（,2,）这些运算律是否能适用于,向量的数量积的运算？,4,、向量的数量积的运算律,实数乘法,向量的数量积,类比猜想,是否都成立？,验证向量数量积的运算律,思考：,即：向量数量积运算不满足结合律,若,若,若,则显然成立,如何验证？,或通过向量数量积的坐标表示验证。,可借助向量数量积的几何意义验证；,5,、向量的数量积的几何意义,如图，作出,cos,，并说出它的几何意义；,cos,的几何意义又是什么？,(B,1,),B,1,B,1,O,B,A,(1),B,O,A,（,3,）,B,A,O,(2),cos,叫做向量 在向量 上的投影，,cos,叫做向量 在向量 上的投影,.,(B,1,),B,1,B,1,O,B,A,(1),B,O,A,（,3,）,B,A,O,(2),5,、向量的数量积的几何意义,(1),投影,是一个,数量，,不是向量。,5,、向量的数量积的几何意义,O,A,B,|b|cos,a,b,B,1,5,、向量的数量积的几何意义,(,a+b,),c,=,ON,|,c,|,=(,OM,+,MN,)|,c,|,=OM|,c,|+MN|,c,|,=,ac+bc,.,向量,a,、,b,、,a,+,b,在,c,上的投影分别是,OM,、,MN,、,ON,则,O,N,M,a+b,b,a,c,用向量的几何意义验证,向量的数量积的常用公式,例,3,、证明,例,4,、已知,与 的夹角为,60,，,求：（,1,）在 方向上的投影；,（,2,）在 方向上的投影；,为何值时，与 互相垂直？,（,5,）,（,3,）,（,6,）,（,4,）,（,7,）,课堂练习4,例,6,、用向量方法证明：,径所对的圆周角为直角。,A,B,C,O,如图所示，已知,O,，,AB,为直径，,C,为,O,上任意一点。求证,ACB=90,分析：要证,ACB=90,，只须证向,量 ，即 。,解：,设,则 ，,由此可得：,即 ，,ACB=90,五、小结,1,、向量的夹角,2,、向量数量积的定义,3,、向量数量积的性质,4,、向量数量积的运算律,
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