3.1不等关系与不等式-PPT

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1不等关系与不等式,主要内容,3.,比较代数式大小的方法,2.,不等式的性质及其证明,4.,不等式的应用实例,1.,不等关系,2,1.,不等关系,3,观察,最低限速,60km,最低限速,50km/h,v,50km/h,最高限速,120km,小汽车限速范围,60km,v,120,km/h,4,问题,1,设点,A,与平面,M,的距离为,d,，,B,为平面,M,上的任意一点，则,d,|AB|,A,M,B,d,5,问题,2,某种杂志原以每本,2.5,元的价格销售，可以售出,8,万本,.,据市场调查，若单价每提高,0.1,元，销售量就可能相应减少,2000,本。若把提价后杂志的定价设为,x,元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于,20,万元呢？,分析：若杂志的定价为,x,元，则销售的总收入,为 万元,.,那么不等关系“销售,的总收入不低于,20,万元”可以表示为不等式,6,问题,3,某钢铁厂要把长度为,4000mm,的钢管截成,500mm,和,600mm,两种,.,按照生产的要求，,600mm,钢管的数量不能超过,500mm,钢管的,3,倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？,分析：假设截得,500mm,钢管,x,根，截得,600mm,的钢管,y,根,.,由题意，应有以下的不等关系：,（,1,）截得两种钢管的总长度不能超过,4000mm,；,（,2,）,600mm,钢管的数量不能超过,500mm,钢管的,3,倍；,（,3,）截得两种钢管的数量都不能为负,.,7,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,8,要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：,9,2.,不等式的性质及其证明,10,事实上，实数与数轴上的点是一一对应的,.,在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大,譬如图中，设点,A,表示实数,a,，点,B,表示实数,b,点,A,在点,B,右边，那么,a,b,B,A,a,b,回忆两个实数的大小是如何确定的？,11,从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点,.,基本事实,作差比较法,12,1.,不等式的性质,性质,1,如果,ab,那么,ba;,如果,bb,证明：由于,ab,可得,a-b0,所以,-,（,a-b,）,0,即,b-a0,所以,ba.,同理可证得：如果,bb,说明：此性质可称为不等式的自反性,13,性质,2,如果,ab,bc,那么,ac.,证明：由于,ab,得,a-b0,；又,bc,，得,b-c0;,所以,a-c=(a-b)+(b-c)0,即,a-c0,所以,ac.,说明：此性质可称为不等式的传递性。,14,性质,3,如果,ab,那么,a+cb+c,证明：由于,ab,得,a-b0,；,所以（,a+c,）,-,（,b+c,）,=a-b0,即,(a+c)-(b+c)0,所以,a+cb+c.,说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变,.,15,性质,4,如果,ab,c0,那么,acbc;,证明：由于,ab,得,a-b0,；,ac-bc=c(a-b)0,所以,acbc.,说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变,.,如果,ab,c0,那么,ac0,时,ac-bc=c(a-b)0,所以,acbc.,当,cb,cd,那么,a+cb+d;,证明：由于,ab,得,a-b0,又,cd,得,c-d0,；,说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向,.,所以,(a+c)-,（,b+d,）,=(a-b)+(c-d)0,所以,a+cb0,cd0,那么,acbd;,证明：由于,ab,得,a-b0,又,cd,得,c-d0,ac-bd=ac-ad+ad-bd,=a(c-d)+d(a-b),说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向,.,所以,ac-bd0,即,acbd.,由题意知,a0,d0,且,c-d0,a-b0,18,性质,7,如果,ab0,那么,a,n,b,n,(n,N,n,2),;,证明：由于,ab0,根据性质,6,，自乘得；,a,abb,即,a,2,b,2,.,说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向,.,继续用性质,6,，可得,a,3,b,3,.,显然,a,2,b,2,0,继续下去可得,a,n,b,n,(n,N,n,2),;,19,性质,8,如果,ab0,那么,(n,N,n,2),;,证明：用反证法证明，假设结论不成立则；,说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向,.,则得,a=b,，与已知,ab,矛盾,若,若,则由性质,7,两边,n,次幂得,ab,矛盾,.,20,证明命题的方法简介,在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明,.,直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明,.,其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由,.,直接证明是最常见的证明方法,.,间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的,.,间接证明分为反证法和选言证法,.,21,直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明,.,综合法,:,一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）,.,分析法,:,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法,.,22,反证法是属于,“,间接证明法,”,一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得,.,法国数学家阿达玛,(Hadamard),对反证法的实质作过概括：,“,若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾,”,.,具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明,.,反证法简介,23,反证法的证题模式可以简要的概括我为,“,否定推理否定,”,.,即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是,“,否定之否定,”,。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立,.,反证法的证题模式,24,反证法证明命题的一般步骤：,第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；,第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；,第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立,.,25,用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫,“,归谬法,”,；,如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫,“,穷举法,”,归谬法和穷举法,反证法的类型,26,在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：,“,反证法是数学家最精当的武器之一,”,。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：,2.,具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆,.,1.,命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显,.,反证法的适用范围,27,不等式的常见证明方法,直接证法,1,）比较法（作差、或作商）,2,）综合法,3,）分析法,4,）其它换元法、放缩法等,2.,间接证法,反证法,28,例,1.,如果,ab0,cb0,得,a-b0,ab0,又,cb,与,同时成立的充要条件,解答：,ab0,一方面，若,ab0,，,b0,，求证：,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,即,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,证明一：,比较法（作差）,（,a,3,+b,3,）,-,（,a,2,b+ab,2,）,=,（,a,3,-a,2,b,）,+,（,b,3,-ab,2,）,=a,2,(a-b)+b,2,(b-a),a0,，,b0,，,(a-b),2,(a+b)0.,故（,a,3,+b,3,）,-,（,a,2,b+ab,2,）,0,a+b0,，而,(a-b),2,0.,=(a-b),2,(a+b).,=(a-b)(a,2,-b,2,),31,故,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,证明二：比较法（作商）,a,2,+b,2,2ab,，,又,a0,，,b0,，所以,ab0,，,32,所以有,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,证明三：分析法,欲证,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,，,只需证明,(a+b)(a,2,+b,2,-ab)ab(a+b).,由于,a0,，,b0,，,所以,a+b0,，,故只要证明,a,2,+b,2,-abab,即可。,即证明,a,2,+b,2,2ab.,而,a,2,+b,2,2ab,显然是成立的,33,即,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,证明四：综合法,a,2,+b,2,2ab,，,a,2,+b,2,-abab.,又,a0,，,b0,，,a+b0,，,故,(a+b)(a,2,+b,2,-ab)ab(a+b).,34,3.,比较代数式大小的方法,35,例,3.,比较 与 的大小,分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而得出两个代数式的大小,.,当 时，所以,当 时，所以,2.,比较代数式大小的方法,36,例,4.,已知 ，比较,与 的大小,解：作差比较,因为,a,0,，所以,-a,2,0,37,解：,所以,比较 与 的大小,练习,2,38,1).,如果,a,b,0,，则下列不等式中不成立的是（）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,a,b,（,D,）,a,2,b,2,2).a,、,b,是任意实数，且,a,b,，则 （）,（,A,）,a,2,b,2,（,B,）,（,C,）,lg,（,a-b,）,0,（,D,）,B,D,练习,3,39,3.a,、,b,、,c,、,d,是任意实数，且,a,b,，,c,d,，则下列结论正确的是 （）,（,A,）,a+c,b+d,（,B,）,a-c,b-d,（,C,）,ac,bd,（,D,）,A,40,4.,不等式的应用实例,41,例,5.,某夏令营有,48,人，出发前要从,A,、,B,两种型号的帐篷中选择一种,.A,型号的帐篷比,B,型号的少,5,顶,.,若只选,A,型号的，每顶帐篷住,4,人，则帐篷不够；每顶帐篷住,5,人，则有一定帐篷没有住满,.,若只选,B,型号的，每顶帐篷住,3,人，则帐篷不够；每顶帐篷住,4,人，则有帐篷多余,.,设,A,型号的帐篷有,x,顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来,.,42,解：设,A,型号帐篷有,x,个，则,B,型号帐篷有（,x+5),个，则有如下不等关系：,43,练习：旅行社为了吸引更多的游客加入，各自推出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的,.,甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是：甲旅行社称凡全家旅游，其中一人交全费的,，其余的人可享受半价优