泛函分析初步(共45张PPT)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章泛函分析初步,1,第一页，共45页。,第三章 泛函分析初步,3.1 线性空间,3.2 线性子空间,3.3 距离空间,3.4 Banach空间,3.5 Hilbert空间,3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开,第二页，共45页。,3.1 线性空间,线性空间：设,W,（,W,为非空集合）,(1),W,中元对“+”构成交换群，即对,X,Y,Z,W,有,.,.,.,.,.,第三页，共45页。,3.1 线性空间,(2)对,X,Y,W，,C,（复数域）有：,.,.,.,.,称,W,为线性空间；若,C,，则,W,为复线性空间；若,R,，则,W,为实线性空间。,第四页，共45页。,3.1 线性空间,第五页，共45页。,3.1 线性空间,线性空间,W,上的算子,L,为线性算子,零状态线性系统,系统算子为线性算子,第六页，共45页。,3.2 线性子空间,线性子空间：设,V,W,，,V,是,W,的线性子空间,直和：设,第七页，共45页。,3.3 距离空间（度量空间Metric Space）,距离空间：设,W,，称,W,为距离空间，指在,W,中定义了映射：（包,括0），,X,Y,W,满足以下三条公理：,称为,W,上的距离，为度量空间。,第八页，共45页。,3.3 距离空间,例：,例：,第九页，共45页。,3.3 距离空间,例：,第十页，共45页。,3.3 距离空间收敛,收敛：,定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。,第十一页，共45页。,3.3 距离空间完备度量空间,柯西序列Cauchy Sequence,例：,第十二页，共45页。,3.3 距离空间完备度量空间,中任意收敛序列是柯西序列,中的柯西序列未必收敛到 中,例：,第十三页，共45页。,3.3 距离空间完备度量空间,完备度量空间Complete Metric Space,称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。,极限运算在完备时可行,如何完备化？,W,不要求线性空间,第十四页，共45页。,3.4 巴拿赫（Banach）空间,第十五页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,赋范线性空间：设,W,是线性空间，若对,X,W,，,X,满足：,称为,X,的范数（,Norm,），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。,第十六页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,（广义）长度的推广：,例1：,第十七页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,（广义）长度的推广：,例2：,第十八页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,Minkowski不等式：,第十九页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,第二十页，共45页。,广义傅里叶展开：设 是H空间W的规范正交完备集，则对,第二十三页，共45页。,柯西序列Cauchy Sequence,Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。,第二十四页，共45页。,第二十四页，共45页。,第三十九页，共45页。,2 Hilbert空间,2正交投影Orthogonal Projection,(2)对 X,YW，,C（复数域）有：,度量空间与赋范线性空间的关系：,6 完备规范正交集上广义傅里叶展开,正交：在内积空间W中，若 ，满足：，则称 正交，记为：。,为广义傅里叶系数。,则称X,Y为X与Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。,第三十三页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,例,第二十一页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,强收敛：,弱收敛：依泛函收敛。,注：强收敛,弱收敛。,第二十二页，共45页。,3.4.1 赋范线性空间,度量空间与赋范线性空间的关系：,例,第二十三页，共45页。,3.4.2.Banach空间,Banach空间：完备的 称为Banach空间。,是Banach空间。,在 中，取 完备。,第二十四页，共45页。,3.4.2.Banach空间,定理：若,Hlder不等式：,证明思路：,第二十五页，共45页。,3.5 Hilbert空间,第二十六页，共45页。,3.5.1 内积空间,内积：设,W,为实或复线性空间，若对,X,Y,Z,W,C，,均有一个实数或复数与之对应，记为,X,Y,，满足：,则称,X,Y,为,X,与,Y,的内积，定义了内积的空间为内积空间。,第二十七页，共45页。,3.5.1 内积空间,注：,例子：,第二十八页，共45页。,3.5.1 内积空间,例子：,第二十九页，共45页。,3.5.2 Hilbert空间,定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。,Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。,有限维内积空间必完备：完备。,完备，定义内积 。,H空间是能量有限信号的集合。,第三十页，共45页。,3.5.2 Hilbert空间,Cauchy-Schwarz不等式：,W,为内积空间，,X,Y,W,，有,注：,1.在Hlder不等式中，取 ，就成为Cauchy-Schwarz不等式。,2.在 空间中，有Cauchy不等式：,3.在 空间中，有Schwarz不等式：,第三十一页，共45页。,3.5.3 线性泛函,算子Operator：,X,Y,为线性空间，算子：,其中，为定义域，为值域。,第三十二页，共45页。,3.5.3 线性泛函,泛函Functional：值域是实复数域的算子为泛函。,注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。,线性算子：,X,Y,为线性空间，若对 ，有：,则,T,为线性算子。,第三十三页，共45页。,3.5.3 线性泛函,线性泛函：线性算子,T,的值域为实复数集。,距离、范数是泛函，但非线性泛函。,连续线性算子,T,线性算子：有界,连续,内积为连续线性泛函,积分算子,第三十四页，共45页。,3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开,第三十五页，共45页。,3.6.1 正交Orthogonal,正交：在内积空间,W,中，若 ，满足：，则称 正交，记为：。其中,k,为常数，为Kronecker符号,正交（子）集：中任意两个元正交。,第三十六页，共45页。,3.6.1 正交,集正交：若,正交补：,规范正交完备集,V,：,1.（完备性）,2.（规范正交）,第三十七页，共45页。,3.6.1 正交,定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。,定理：,W,是Hilbert空间，,V,是,W,的,正交子集。,第三十八页，共45页。,3.6.2正交投影Orthogonal Projection,正交投影：,W,是Hilbert空间，,在,V,上的正交投影或投影，记为：。,注：的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。,第三十九页，共45页。,3.6.3 广义傅里叶展开,广义傅里叶展开：设 是,H,空间,W,的规范正交完备集，则对,为广义傅里叶系数。,注：是Hilbert空间,W,的规范且完备的一组基。是,X,在 上的投影。,第四十页，共45页。,3.6.3 广义傅里叶展开,Parseval等式：设 ，,则,物理解释：信号的总能量各个分量的能量的和。,几何解释：广义勾股定理。,第四十一页，共45页。,3.6.3 广义傅里叶展开,用N项广义傅里叶展开逼近,X,：,设 是Hilbert空间,W,的规范正交完备集，,X,在 上的投影：。,这里 规范正交，但不完备。,第四十二页，共45页。,精品课件,！,第四十三页，共45页。,精品课件,！,第四十四页，共45页。,结束,第四十五页，共45页。,