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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2015/9/21,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2015/9/21,#,矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形,复习回顾,四边形集合,平行四边形集合,矩形集合,定义：有一个角是,直角,的,平行四边形,叫做矩形。,四边形,平行四,边形,两组对边,分别平行,一个角,是直角,矩形,复习回顾四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角,矩形的性质,(1),边：对边平行且相等,(2),角：四个角都是直角,(3),对角线：相等且互相平分,A,B,D,C,矩形,ABCD,AB CD,，,AD BC,矩形,ABCD,AC=BD,且,OA=OB=OC=OD.,矩形,ABCD,ABC,BCD,CDA,DAB,90,O,性质,矩形的性质(1)边：对边平行且相等(2)角：四个角都是直,课前热身,1,、矩形的四个内角都是,_,。,2,、矩形的对角线,_,且,_,。,直角,相等,互相平分,3,、矩形是,_,对称图形。,轴对称和中心,4,、在直角三角形中，,_,角所对的直角边等于斜边的,_,。,5,、在直角三角形中，斜边上的,_,等于斜边的,_,。,30,一半,中线,一半,课前热身1、矩形的四个内角都是_。直角相等互相平分,矩形的判定方法,1,：,有,一个角是直角,的,平行四边形,是矩形,.,在,ABCD,中,B=90,四边形,ABCD,是矩形,由定义入手,:,A,B,C,D,矩形的判定方法1：在 ABCD中由定义入手:AB C,情境,：工人师傅为了检验,两组对边相等,的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果,对角线长相等,，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？,猜想,：对角线相等的平行四边形是矩形。,情境：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一,命题：对角线相等的平行四边形是矩形。,已知：,在,ABCD,中,AC,DB,是它的两条对角线，,AC=BD,。,求证：四边形,ABCD,是矩形。,A,B,C,D,证明,:,AB=CD,BC=BC,AC=BD,ABC DCB,（,SSS,）,又,AB/CD,ABC+DCB=180,ABC=DCB=90,四边形,ABCD,是矩形,ABC=DCB,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB=DC,ABDC,在,ABC,和,DCB,中,命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：在ABCD中,A,对角线相等的平行四边形是矩形。,A,B,D,C,几何语言：,在,ABCD,中,AC=BD,ABCD,是矩形,0,判定定理,2,：,ABDC几何语言：在 ABCD中 ABC,有一个角是直角,有两个角是直角 的,四边形,是矩形吗？,有三个角是直角,A,B,D,C,(,有一个角是直角,),A,B,D,C,(,有二个角是直角,),A,B,D,C,(,有三个角是直角,),探究,猜想,：有三个角是直角的四边形是矩形。,P15,你能证明上述结论吗？,有一个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是,已知：在四边形,ABCD,中，,A=B=C=90,求证：四边形,ABCD,是矩形。,A,B,C,D,证明：,A=B=90,A+B=180,ADBC,同理可证：,ABCD,四边形,ABCD,是平行四边形,又,A=90,四边形,ABCD,是矩形,命题：有三个角是直角的四边形是矩形。,已知：在四边形ABCD中，A=B=C=90ABCD,有三个角是直角的四边形是矩形,A,B,C,D,A=B=C=90,四边形,ABCD,是矩形,几何语言：,矩形的判定方法（,3,）,有三个角是直角的四边形是矩形 ABCD A=B=,有一个角是直角的平行四边形是矩形。,对角线相等的平行四边形是矩形。,（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）,有三个角是直角的四边形是矩形。,方法,1,：,方法,2,：,方法,3,：,归纳：,有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩,任意一个四边形，,三角直角定矩形。,对于平行四边形，,一个直角即可定；,对线相等也矩形。,矩形的判定口诀：,任意一个四边形，矩形的判定口诀：,你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？,【P15,议一议,】,如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？,你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？,你来评判,下列各句判定矩形的说法是否正确？,（,1,）有一个角是直角的四边形是矩形；（）,（,2,）四个角都相等的四边形是矩形；（）,（,4,）对角线相等的四边形是矩形；（）,（,5,）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）,（,3,）四个角都是直角的四边形是矩形。（）,（,6,）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形,(),你来评判下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角,例：如图，在,ABCD,中,，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,ABO,是等边三角形，,AB=4cm,，求这个,ABCD,的面积,.,解：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AC=2OA,，,BD=2OB,，,AOB,是等边三角形,OA=OB,，,AC=BD,，,ABCD,是矩形,.,在,RtABC,中，,AB=4cm,，,AC=2AO=8cm,BC=,S,ABCD,=AB,BC=44 =16 (,cm,2,).,A,B,C,D,O,例：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB,已知：如图，,在,ABCD,中,，,M,是,AD,边的中点，且,MB=MC,。,求证：四边形,ABCD,是矩形。,A,B,C,D,M,P16,随堂练习,已知：如图，在ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC,A=B=C=90,ABCD,AC=BD,ABCD,A=90,ABCD,是矩形,四边形,ABCD,是矩形,谈一谈，今天你有何收获？,判定一个四边形是矩形的方法是：,A=B=C=90ABCDAC=BDABCD,2,如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：,(1),先截出两对符合规格的铝合金窗,(,如图,),使,AB=CD,、,EF=GH,；,(2),摆放成,(,如图,),的四边形，则这时窗框的形状是,，根据的数学道理是,。,(3),将直角尺靠紧窗框的一个角,(,如图,),调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,(,如图,),，说明窗框合格这时窗框是,，根据的数学道理是,。,有一个内角是直角,相等,矩形,矩形,两组对边分别相等的四边形平行四边形,1,的平行四边形是矩形对角线,的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是,形。,平行四边形,有一个角是直角的的平行四边形是矩形,2如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：有一个内角,3,、已知如图四边形,ABCD,中，,AB,BC,，,AD,BC,，,AD=BC,，,试说明四边形,ABCD,是矩形。,证明：,AD=CB AD,CB,四边形,ABCD,是平行四边形,ABBC,B=90,ABCD,是矩形,A,B,C,D,3、已知如图四边形ABCD中，ABBC，ADBC，A,4,、如图，平行四边形,ABCD,中，,AB=6,，,BC=8,，,AC=10,，,求证,:,四边形,ABCD,是矩形。,D,B,C,A,证明：,AB=6,BC=8,AC=10,AB,2,+BC,2,=6,2,+8,2,=100=10,2,=AC,2,B=90,又 四边形,ABCD,是平行四边形,ABCD,是矩形,4、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC,5,、,BD,、,BE,分别是,ABC,与它的邻补角的平分线，,AEBE,，,ADBD,，,求证：四边形,AEBD,是矩形。,证明：,AEBE,，,ADBD,E=90,D=90,BD,，,BE,分别是,ABC,与它的邻补角,CBP,的平分线,1=ABC,2=ABP,AEBD,是矩形,C,B,A,D,E,P,1,2,1+2=(,ABC+,ABP)=,180,=90,即,DBE=90,5、BD、BE分别是ABC与它的邻补角的平分线，AEBE,A,O,B,D,C,6,、,已知如图四边形,ABCD,中,AO=BO=CO=DO,，,试说明四边形,ABCD,是矩形。,证明,：,AO=BO=CO=DO,AO=CO,，,BO=DO,四边形,EFGH,是平行四边形,即,AC=BD,四边形,ABCD,是矩形,又,AO+CO=BO+DO,AOBDC6、已知如图四边形ABCD中证明：AO=BO=,A,B,C,D,E,F,G,H,O,7,、已知：矩形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于,O,，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AO,、,BO,、,CO,、,DO,上的一点，且,AE=BF=CG=DH,。,求证：四边形,EFGH,是矩形。,证明,：,四边形,ABCD,是矩形,AO=BO=CO=DO,又,AE=BF=CG=DH,OE=OF=OG=OH,四边形,EFGH,是平行四边形,又,EO+OG=FO+OH,即,EG=FH,四边形,EFGH,是矩形,ABCDEFGHO7、已知：矩形ABCD的对角线AC、BD,A,B,D,C,H,E,F,G,四边形,ABCD,是平行四边形,DAB+ABC=180,8,、如图，,ABCD,四个内角的平分线围成四边形,EFGH,，猜想四边形,EFGH,的形状，并说明理由,证明：,同理：,EFG=90,、,FGH=90,四边形,EFGH,是矩形,AE,、,BE,分别平分,DAB,、,ABC EAB+EBA=90,即,AEB=90,HEF=90,ABDCHEFG四边形ABCD是平行四边形 DAB+,A,B,D,C,H,E,F,G,8,、如图，,ABCD,四个内角的平分线围成四边形,EFGH,，猜想四边形,EFGH,的形状，并说明理由,证明：,M,P,N,Q,四边形,ABCD,是平行四边形,ABC=ADC,又,AN,、,DM,是,ABC,、,ADC,的平分线,ABQ=QBC=ADM=CDM,又,ADBC,AQB,QBC=ADM,BQDM,AE,、,BE,分别平分,DAB,、,ABC EAB+EBA=90,即,AEB=90,HEF=90,四边形,EFGH,是矩形,同理：,ANCP ,四边形,EFGH,是平行四边形,ABDCHEFG8、如图，ABCD四个内角的平分线围成,变式：,平行四边形,ABCD,，,AF,、,BH,、,CH,、,DF,分别是,BAD,、,ABC,、,BCD,、,CDA,的平分线。求证：,EF=GH.,M,L,K,N,F,G,H,E,D,C,B,A,变式：平行四边形ABCD，AF、BH、CH、DF分别是B,9,、如图,在,ABC,中,点,0,是,AC,边上的一个动点,过点,0,作直线,MN,BC,若,MN,交,BCA,的平分线于点,E,交,BCA,的外角平分线于点,F,A,B,C,M,N,0,),1,),2,(,5,(,4,(,3,(,6,(1),求证,:0E=0F,(2),当,0,运动到何处时,四边形,AECF,为矩形,?,说明理由,E,F,证明：,CF,平分,ACD,1=2,又,MNBC,1=3,2=3,OC=OF,同理可证：,OC=OE,OE=OF,D,答：当点,0,为,AC,的中点时，,四边形,AECF,是矩形,理由：由（,1,）知,0E=0F,，,又,AO=CO,四边形,AECF,是平行四边形,又,EC,平分,ACB,，,FC,平分,ACD,2+4=90,即,ECF=90,四边形,AECF,是矩形,9、如图,在ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直,拓展：,(1),对角线相等的四边形是矩形吗,?,(2),需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗,?,归纳：,对角线相等且互相平分的四边形是矩形,AC=BD,且,OA=OC O
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