随机过程方兆本12条件期望和矩母函数ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,条件期望和矩母函数,对于离散型随机变量,X,和,Y,.,一般,对所有使,P,Y=y,0,的,y,定义给定,Y=y,时,X,取,x,的条件概率为,而给定,Y=y,X,的条件分布函数为,给定,Y=y,X,的条件期望为,1.2 条件期望和矩母函数对于离散型随机变量X和Y.一般,对于一般的连续型随机变量,Y,.,由于,P,Y=y,往往为,0,则给定,Y=y,时,X,的条件概率定义为,:,若对任何包含,y,的小区间,y,总有,P(,Y,y,)=0,则,定义为,P,(,XA|Y=y,),=,0,;,若,P,(,Y,y,),0,则定义为,这里,y,0,的意思是使包含,y,的小区间的长度缩小为,0.,除了个别例外的,y,值这一极限总是存在的,.,对于一般的连续型随机变量Y.由于PY=y往往为0,则给,而给定,Y=y,X,的,条件分布函数,为,如果存在一非负函数,f,(,x,|,y,),使得对任何集合,A,恒有,且,则,f,(,x,|,y,),称为在给定,Y=y,时,X,的,条件密度,.,显然有,而给定Y=y,X的条件分布函数为如果存在一非负函数f(x|,条件期望通常统一记为,注,:,E(X|Y=y),表示一个数值,;,E(X|Y),表示随机变量,.,例,1.8,袋子中有,3,个相同的球,分别标号为,1,2,3.,现从中随机地取出一个球,记下标号,(,假设标号为,k),后放回,同时从袋子中去掉标号为,1,k-1,的球,.,然后再随机地取一球记下标号,.,分别用,X,和,Y,表示两次取球记下的标号,则,条件期望通常统一记为注:E(X|Y=y)表示一个数值,E(Y|X),2 2.5 3,Pr,1/3 1/3 1/3,E(Y|X)2 2.5 3,例,1.9,扔一硬币出现正面的概率为,p,独立地做投币试验,.,记,S,为,n,次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第,T,次试验,.,求给定,n,次试验中仅出现了一次正面时变量,T,的条件概率分布,也即,P,(,T,=,k,|,S,=1).,解,:,所以,例1.9 扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验.记,命题,1.1,若,X,与,Y,独立,则,E,(,X,|,Y,=,y,)=,E,(,X,);,条件期望的平滑性,对随机变量,X,Y,的函数,(,X,Y,),有,证明,:,假设,(X,Y),为离散型随机变量,则,命题1.1 若X与Y独立,则 E(X|Y=y)=E(X,矩母函数及生成函数,定义,1.5,随机变量,X,的,矩母函数,定义为随机变量,exp,tX,的期望,记作,g,(,t,),即,:,矩母函数的性质,:,当矩母函数存在时它唯一地确定了,X,的分布,;,E,X,n,=,g,(,n,),(0),n,1;,对于相互独立的随机变量,X,与,Y,则,g,X+Y,(,t,)=,g,X,(,t,),g,Y,(,t,).,矩母函数及生成函数定义1.5 随机变量X的矩母函数定义为随,注,:,由于随机变量的矩母函数不一定存在,因此现在常用特征函数,E,e,itX,代替矩母函数,.,关于特征函数内容以及性质,1,可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材,:,1,丁万鼎等,概率论与数理统计,上海,:,上海科学,技术出版社,1988.,注:由于随机变量的矩母函数不一定存在,因此现在常用特征函,常见分布的矩母函数,:,分布名称,概率分布或密度,矩母函数,二项分布,B,(,n,p,),Poisson,分布,(,),正态分布,N,(,2,),指数分布,P,(,),均匀分布,U,a,b,常见分布的矩母函数:分布名称概率分布或密度矩母函数二项分布,解,:,先算条件期望,例,1.10,(,随机和的矩母函数,),记,X,1,X,2,为一串独立同分布的随机变量,N,为取值为非负整数的随机变量,且,N,与,X,序列相互独立,.,求,Y,的矩母函数,.,解:先算条件期望例1.10(随机和的矩母函数)记X1,于是有,进一步,因此,注意,:g(0)=1,于是有进一步,因此,注意:g(0)=,定义,1.5,若,X,为离散随机变量,则期望,E,(,s,X,),为其概率生成函数,记作,X,(,s,),即,:,生成函数的性质,:,生成函数与离散随机变量是一一对应的,;,对于相互独立的随机变量,X,与,Y,则,X+Y,(,s,)=,X,(,s,),Y,(,s,).,定义1.5 若X为离散随机变量,则期望E(sX)为其概率生,性质,:,若离散随机变量分布为,则,证明,:,事实上,性质:若离散随机变量分布为证明:事实上,课外作业：,Page 13 Ex13,，,14,，,15,，,17,课外作业：,