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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,2020/11/20 Friday,#,函数的零点与方程的解,授课人：李书强,函数的零点与方程的解授课人：李书强,1,中外历史上的方程求解,在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月,.,约公元,50100,年编成的,九章算术,给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法,.,情境引入,中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通,2,中外历史上的方程求解,13,世纪，南宋数学家,秦九韶,给出了求,任意次代数方程,的,正根,的解法。,11,世纪，北宋数学家,贾宪,给出了,三次及三次以上,的方程的解法,.,情境引入,中外历史上的方程求解13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次,3,中外历史上的方程求解,国外数学家对方程求解亦有很多研究。,9,世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。,由于实际问题的需要，我们经常需要寻求,函数,y,=,f,(,x,),的零点,。,情境引入,中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有,4,2024/11/14,我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道,一元二次方程的实数根,就是相应,二次函数的零点,.,例如，方程,x,2,-,5,x+,6,=,0,的根为,x,1,=2,x,2,=3,则,二次函数,f,(,x,),=x,2,-,5,x+,6,的零点就是,2,和,3,.,y,6,3,x,0,2,在图像上显示为,问题导引,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,2023/9/27 我们已经学习了用二次函数的,5,画出下列函数的图象,(1),f,(,x,),=x,-1,f,(,x,),=x,2,-2,x,+1,(2),f,(,x,),=,f,(,x,),=,(3),f,(,x,),=,2,x,-,1,f,(,x,),=,log,2,x,思考：当函数和,x,轴有交点时，,其交点横坐标,与,方程,f,(,x,)=0,的解,有什么关系？,体验探究,再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看,其交点横坐标,与,f,(,x,)=0,的解,有什么关系？,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,画出下列函数的图象思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与,6,2024/11/14,函数的零点定义：,函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴有交点,方程,f,(,x,)=0,有实数根,函数,y=f,(,x,),有零点,等价关系,对于一般函数,y=f,(,x,),我们把,使,f,(,x,)=0,的实数,x,叫做函数,y=f,(,x,),的零点。,函数的零点是点吗？,答：不是。函数,y=f,(,x,),的零点是方程,f,(,x,)=0,的实数解，也就是函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴交点的,横坐标,。,零点的求法,代数法,图象法,发现新知,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,2023/9/27函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x,7,2024/11/14,？,问题,1,像,ln,x+,2,x-,6,=,0,这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用,相应的函数,研究它的解的情况呢？,由刚才的等价关系我们知道，,求方程,f,(,x,),=,0,的实数解，就是确定函数,y,=,f,(,x,),的零点,，一般地，,对于不能用公式求解的方程,f,(,x,),=,0,，,我们可以把它与相应的函数,y,=,f,(,x,),联系起来，利用,函数的图象和性质找出零点,，从而得到方程的解。,体验探究,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,2023/9/27？问题1 像lnx+2x-6=0这样不能,8,体验探究,对于二次函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-3,观察它的图象,(,图,4.5-1),发现它在区间,2,4,上有零点。这时，函数图象与,x,轴有什么关系,?,在区间,-2,0,上是否也有这种关系,?,你认为应如何利用函数,f,(,x,),的取值规律来刻画这种关系,?,再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与,x,轴的关系，并探究用,f,(,x,),的取值刻画这种关系的方法,.,图,4.5-1,2,1,1,-2,2,-1,3,4,-1,-2,-3,-4,0,y,x,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,体验探究 对于二次函数 f(x)=x2-2x-,9,体验探究,可以发现，在零点附近，函数图象是,连续不断,的，并且,“穿过”,x,轴。函数在端点,x,=2,和,x,=4,的取值异号，即,f,(2),f,(4)0,函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-3,在区间,(2,4),内有零点,x,=3,它是方程,x,2,-2,x,-3=0,的一个根。,同样地，,f,(-2),f,(0)0,，函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-3,在,(-2,0),内有零点,x=-,1,它是方程,x,2,-2,x,-3=0,的另一个根。,2,1,1,-2,2,-1,3,4,-1,-2,-3,-4,0,y,x,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,体验探究 可以发现，在零点附近，函数图象是连续,10,2024/11/14,问题探究,观察函数的图象,在区间,(,a,b,),上,_(,有,/,无,),零点；,f,(,a,),f,(,b,)_0,（或）,在区间,(,b,c,),上,_(,有,/,无,),零点；,f,(,b,),f,(,c,)_,0,（或）,在区间,(,c,d,),上,_(,有,/,无,),零点；,f,(,c,),f,(,d,)_,0,（或）,b,a,c,0,y,x,d,有,有,有,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,2023/9/27问题探究观察函数的图象bac0yxd有有,11,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是,连续不断,的一条曲线，且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，那么函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点，即,存在,c,(,a,b,),，使得,f,(,c,)=0,，这个,c,也就是方程,f,(,x,)=0,的解,。,发现新知,函数零点存在定理,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,如果函数 y=f(x)在区间a,b上的,12,思考,1,：,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上有,f,(,a,),f,(,b,)0,，,那么,函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内,是否一定有零点,？,0,y,x,思考,2,：,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上,是,连续不断,的一条曲线,，那么,函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内,是否一定有零点,？,0,y,x,这说明什么？,“,在给定区间,a,b,上连续,”和“,f,(,a,),f,(,b,)0,”这两个条件缺一不可,发现新知,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,思考1：如果函数 y=f(x)在区间a,b上有 f(a),13,思考,3,：如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上是一条连续不断的曲线，且在区间,(,a,b,),内有零点，是否一定有,f,(,a,),f,(,b,)0,？,x,y,0,这说明什么？,“,在给定区间,a,b,上连续,”和“,f,(,a,),f,(,b,)0,”这两个条件是,函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点的,充分不必要条件。,发现新知,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,思考3：如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续不,14,问题,4,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是,连续不断,的一条曲线，且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，那么函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点，但,是否只有一个零点,呢？,0,y,x,发现新知,这又说明什么？,函数零点存在定理可以,证明函数有零点，,但,不能判定零点的个数。,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,人教,A,版高中数学必修第一册：,4.5.1,函数的零点与方程的解（共,22,张,PPT,）,问题4 如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是,15,2024/11/14,例,1,：求函数,f,（,x,）,=lg(,x,-1),的零点,求函数零点的步骤：,(1),令,f(x)=0;,(2),解方程,f(x)=0,；,(3),写出零点,拓展深化,2023/9/27例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点,16,2024/11/14,由表,4.5-1,和图,4.5-2,可知,f,(2)0,，,即,f,(2),f,(3)0,，,由函数零点存在定理可知，这个函数在区间,(2,3),内至少有一个零点,。,解：用计算工具作出,x,、,f,(,x,),的对应值表（表,4.5-1,）和图象（图,4.5-2,）,例,2,已知函数,f,(,x,)=ln,x,+2,x,6,，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,0,2,4,6,10,5,y,2,4,10,8,6,12,14,8,7,6,4,3,2,1,9,拓展深化,2023/9/27由表4.5-1和图4.5-2可知f(2),17,y,=ln,x,和,y,=2,x,-6,在,(0,+),上都是增函数，,f,(,x,)=ln,x,+2,x,-6,在,(0,+),上是增函数，,又,f,(2)=ln2+2 2,6,0,函数,(,),在定义域,(0,+),内仅有一个零点。,拓展深化,y=lnx和y=2x-6在(0,+)上都是增函数，f,18,请同学们练习课本,P,144,1,题,思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？,拓展深化,如果函数,y=f,(,x,),在,a,b,上,图象是,连续,的,并且在闭区间的两个端点上的函数值,互异，,即,f,(,a,),f,(,b,)0,且是,单调,函数,那么，这个函数
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