26.3-实际问题与二次函数(利润问题)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,26.3,实际问题与二次函数,1.,掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；,2.,会应用二次函数的性质解决实际问题,.,1.,如何求二次函数,y=ax,2,+bx+c,（,a0,）,的最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公式,.,（,1,）配方法求最值（,2,）公式法求最值,基础操练,2.,当,x=,时，二次函数,y=,x,2,2x,2,有最大值,.,1,在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。,如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？,26.3,实际问题与二次函数,第一课时,如何获得最大利润问题,基础训练,某种品牌的电脑进价为,3000,元，售价,3580,元,.,十月份售出,20,台，则每台电脑的利润为,，十月份的利润为,.,十一月份每台售价降低,100,元，结果比十月份多售出,10,台，则销售每台电脑的利润为,，十一月份的利润为,.,580,元,11600,元,480,元,14400,元,每件产品的利润,=,售价,-,进价,销售总利润,=,每件产品的利润,销售数量,销售问题常用数量关系：,一、自主探究,问题,1.,某商品现在的售价是每件,60,元，每星期可卖出,300,件。市场调查反映：如果调整价格,，每涨价,1,元，每星期要少卖出,10,件；已知商品的进价为每件,40,元，要想获得,6000,元的利润，该商品应定价为多少元？,问题,1,某商品现在的售价是每件,60,元，每星期可卖出,300,件。市场调查反映：如果调整价格,，每涨价,1,元，每星期要少卖出,10,件，已知商品的进价为每件,40,元，要想获得,6000,元的利润，该商品应定价为多少元？,若设销售单价,x,元，那么每件商品的利润可表示为,元，每周的销售量可表示,为,件，一周的利润可表示,为,元，要想获得,6000,元利润可列方程,.,x-40,300-10(x-60),(x-40)300-10(x-60),(x-40)300-10(x-60)=6000,问题,2.,某商品现在的售价是每件,60,元，每星期可卖出,300,件。市场调查反映：如果调整价格,，每涨价,1,元，每星期要少卖出,10,件，已知商品的进价为每件,40,元,.,该商品定价为多少元时，商场能获得,最大利润,？,例,1,：某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件,.,市场调查反映：每涨价,1,元，每星期要少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件,.,已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,请大家带着以下几个问题读题,:,（,1,）题目中有几种调整价格的方法？,（,2,）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,分析,:,调整价格包括涨价和降价两种情况,先来看涨价的情况：设每件涨价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,也随之变化，我们先来确定,y,与,x,的函数关系式。涨价,x,元,则每星期少卖,件，实际卖出,件,销售额为,元，买进商品需付,元,因此所得利润为,元,10 x,(300-10 x),(,60+x)(300-10 x),40(300-10 x),y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x),即,(0X30),怎样确定,x,的取值范围？,解：设每件涨价为,x,元时获得的总利润为,y,元,.,y=(60-40+,x,)(300-10,x,),=(20+,x,)(300-10,x,),=-10,x,2,+100,x,+6000,=-10(,x,2,-10,x,-600),=-10,(,x,-5),2,-25-600,=-10(,x-,5),2,+6250,当,x,=5,时，,y,的最大值是,6250.,定价,:60+5=65,（元）,(0,x,30),怎样确定,x,的取值范围？,还可以用顶点坐标公式解,:,(0X30),可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当,x,取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标,.,当,x,=_,时，,y,最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价,_,元，,即定价,_,元时，利润最大，最大利润是,_.,5,5,65,6250,元,(5,6250),结合图像理解,在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考,（,1,）,的过程得出答案。,解：设降价,x,元时利润为,y,元，则每星期可多卖,20 x,件，实际卖出（,300+20 x),件，销售额为,(60-x)(300+20 x),元，买进商品需付,40(300+20 x),元，因此，得利润,做一做,由,(1)(2),的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗,?,(0 x20),所以定价为,60-2.5=57.5,时利润最大,最大值为,6125,元,.,答,:,综合以上两种情况，定价为,65,元时可 获得最大利润为,6250,元,.,（,1,）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,（,2,）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。,解这类题目的一般步骤,四、自主拓展,在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于,40%,又不得高于,60%,，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,解：设商品售价为,x,元，则,x,的取值范围为,40(1,40%)x40(1,60%),即,56x64,若涨价促销,则利润,y=(x-40)300-10(x-60),=(x-40)(900-10 x),=-10 x,2,+1300 x-36000,=-10(x-65),2,-4225-36000,=-10(x-65),2,+6250,60 x64,由函数图像或增减性知当,x=64,时,y,最大,最大值为,6240,元,若降价促销,则利润,y=(x-40)300+20(60-x),=(x-40)(1500-20 x),=-20 x+2300 x-60000,=-20(x,2,-115x+3000),=-20(x-57.5),2,+6125,56x60,当,x=57.5,时,y,最大,最大,值为,6125,元,.,综上：,x=64,时利润最大,最大值为,6240,元,.,三、自主展示,:,某超市经销一种成本为每件,40,元的商品据市场调查，如果按每件,50,元销售，一周能售出,500,件；若销售单价每涨,1,元，每周销量就减少,10,件设销售单价为,x,元,(x50),，一周的销售量为,y,件,.,(1),写出,y,与,x,的函数关系式,(,标明,x,的取值范围,),(2),设一周的销售利润为,S,，写出,S,与,x,的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？,(3),在超市对该种商品投入不超过,10000,元的情况下，使得一周销售利润达到,8000,元，销售单价应定为多少？,（,2,）,S=(x,40)(1000-10 x),=,10 x,2,1400 x-40000,=,10(x,70),2,+9000,当,50 x70,时，利润随着单价的增大而增大,.,解：（,1,）,y=500,10(x,50),=1000-10 x(50 x100),(3),在超市对该种商品投入不超过,10000,元的情况下，使得一周销售利润达到,8000,元，销售单价应定为多少？,解：（,3,）,10 x,2,1400 x-40000=8000,解得：,x,1,=60,x,2,=80,当,x=60,时，成本,=40,500,10,（,60,50,）,=16000,10000,不符要求,舍去,.,当,x=80,时，成本,=40,500,10,（,80,50,）,=8000,10000,符合要求,所以销售单价应定为,80,元，才能使一周销售利润达到,8000,元的同时，投入不超过,10000,元,1.,谈谈这节课你的收获,.,2.,总结解这类最大利润问题的一般步骤,:,（,1,）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,（,2,）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值,.,利达销售店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为,260,元时，月销售量,45,吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降,10,元时，月销售量就会增加,7.5,吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用,100,元，设每吨材料售价为,x,元，该经销店的月利润为,y,元。,（,1,）当每吨售价是,240,元时，计算此时的月销售量；,（,2,）求出,y,与,x,的函数关系式（不要求写出,x,的取值范围）；,（,3,）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；,（,4,）小明,说：“当月利润最大时，月销售额也最大”，你认为对吗？请说明理由。,练习巩固,1,（,2010,包头中考）将一条长为,20cm,的铁丝剪成两,段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则,这两个正方形面积之和的最小值是,cm,2,2.,某商店购进一种单价为,40,元的篮球，如果以单价,50,元售出，那么每月可售出,500,个，据销售经验，售价每提高,1,元，销售量相应减少,10,个,.(1),假设销售单价提高,x,元，那么销售每个篮球所获得的利润是,_,元，这种篮球每月的销售量是,个,(,用,x,的代数式表示,)(2)8000,元是否为每月销售篮球的最大利润,?,如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元,?,x,+10,500,10 x,8000,元不是每月最大利润，最大月利润为,9000,元，此时篮球的售价为,70,元,.,3.,某商店经营一种小商品，进价为,2.5,元，据市场调查，销售单价是,13.5,元时平均每天销售量是,500,件，而销售单价每降低,1,元，平均每天就可以多售出,100,件,.,（,1,）假设每件商品降低,x,元，商店每天销售这种小商品的利润是,y,元，请你写出,y,与,x,之间的函数关系式，并注明,x,的取值范围；,（,2,）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润,=,销售收入购进成本）,解：,（,1,）降低,x,元后，所销售的件数是（,500+100 x,）,y=,100 x,2,+600 x+5500,（,0,x11,）,（,2,）,y=,100 x,2,+600 x+5500,（,0,x11,）,配方得,y=,100,（,x,3,）,2,+6400,当,x=3,时，,y,的最大值是,6400,元,.,即降价为,3,元时，利润最大,.,所以销售单价为,10.5,元时，最大利润为,6400,元,.,答：,销售单价为,10.5,元时，最大利润为,6400,元,.,4.,我市一家电子计算器专卖店每只进价,13,元，售价,20,元，多买优惠；凡是一次买,10,只以上的，每多买,1,只，所买的全部计算器每只就降低,0.10,元，例如，某人买,20,只