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,-,#,-,1.2.4,二面角,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,1,.,2,.,4,二面角,1.2.4二面角,核心素养,1,.,掌握二面角的概念,.,(,数学抽象,),2,.,理解二面角的平面角的含义,.,(,直观想象、逻辑推理,),3,.,会用向量法解决二面角的计算问题,.,(,数学运算,),思维脉络,核心素养 1.掌握二面角的概念.(数学抽象)思维脉络,激趣诱思,知识点拨,地球绕太阳公转的轨道平面称为,“,黄道面,”,黄道面与地球赤道面的交角,(,二面角的平面角,),为,23,26,.,黄道面与天球相交的大圆称为,“,黄道,”,.,黄道及其附近的南北宽,9,以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内,.,黄道带内有十二个星座,称为,“,黄道十二宫,”,.,从春分,(,节气,),点起,每,30,便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来,.,激趣诱思知识点拨地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道,激趣诱思,知识点拨,1,.,二面角及其度量,激趣诱思知识点拨1.二面角及其度量,激趣诱思,知识点拨,微练习,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,平面,B,1,C,1,DA,与平面,BCDA,所成二面角的大小为,.,答案,:,45,微思考,两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么,?,提示,:,(0,90,激趣诱思知识点拨微练习,激趣诱思,知识点拨,2,.,用空间向量求二面角的大小,(1),如果,n,1,n,2,分别是平面,1,2,的一个法向量,设,1,与,2,所成角的大小为,则有,=,或,=,-,特别地,sin,=,sin,.,(2),设二面角,-l-,为,平面,的法向量分别为,n,1,n,2,激趣诱思知识点拨2.用空间向量求二面角的大小,激趣诱思,知识点拨,名师点析,利用公式,cos,=,(,n,1,n,2,分别为两平面的法向量,),进行求解,注意,与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断,.,如图,(2)(4),中,就是二面角,-l-,的平面角的补角,;,如图,(1)(3),中,就是二面角,-l-,的平面角,.,激趣诱思知识点拨名师点析 利用公式cos=,激趣诱思,知识点拨,微判断,(1),二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角,.,(,),(2),若二面角两个半平面的法向量的夹角为,120,则该二面角的大小等于,60,或,120,.,(,),答案,:,(1),(2),激趣诱思知识点拨微判断,激趣诱思,知识点拨,微练习,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,E,为,BB,1,的中点,则平面,A,1,ED,与平面,ABCD,所成的角的余弦值为,(,),激趣诱思知识点拨微练习,激趣诱思,知识点拨,解析,:,答案,:,B,激趣诱思知识点拨解析:答案:B,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,二面角的平面角问题,例,1,如图所示,PC,平面,ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角,B-PA-C,的平面角的正切值,.,分析,由,PC,平面,ABC,知平面,ABC,平面,PAC,从而,B,在平面,PAC,上的射影在,AC,上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角,.,探究一探究二素养形成当堂检测二面角的平面角问题,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,解,:,PC,平面,ABC,平面,PAC,平面,ABC,交线为,AC.,作,BD,AC,于,D,点,据面面垂直性质定理,BD,平面,PAC,作,DE,PA,于,E,点,连接,BE,据三垂线定理,则,BE,PA,从而,BED,是二面角,B-PA-C,的平面角,.,设,PC=a,依题意知,ABC,是边长为,a,的正三角形,探究一探究二素养形成当堂检测解:PC平面ABC,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,反思感悟,1,.,本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解,.,2,.,二面角的定义求法主要有,:,(1),由定义作出二面角的平面角,;,(2),利用三垂线定理,(,逆定理,),作出二面角的平面角,;,(3),作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角,.,探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 1.本题解法使用了三垂,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,变式训练,1,如图,已知二面角,-a-,等于,120,PA,A,PB,B,求,APB,的大小,.,解,:,设平面,PAOB,=OA,平面,PAOB,=OB.,PA,a,PA,a.,同理,PB,a.,a,平面,PAOB.,又,OA,平面,PAOB,a,OA.,同理,a,OB.,AOB,是二面角,-a-,的平面角,.,在四边形,PAOB,中,AOB=,120,PAO=,PBO=,90,所以,APB=,60,.,探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,利用空间向量求二面角,例,2,如图,四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的所有棱长都相等,AC,BD=O,A,1,C,1,B,1,D,1,=O,1,四边形,ACC,1,A,1,和四边形,BDD,1,B,1,均为矩形,.,(1),证明,:,O,1,O,底面,ABCD,;,(2),若,CBA=,60,求二面角,C,1,-OB,1,-D,的余弦值,.,探究一探究二素养形成当堂检测利用空间向量求二面角,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,(1),证明,:,因为四边形,ACC,1,A,1,和四边形,BDD,1,B,1,均为矩形,所以,CC,1,AC,DD,1,BD,又,CC,1,DD,1,OO,1,所以,OO,1,AC,OO,1,BD,因为,AC,BD=O,所以,O,1,O,底面,ABCD.,(2),解,:,因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形,ABCD,为菱形,AC,BD,又,O,1,O,底面,ABCD,所以,OB,OC,OO,1,两两垂直,.,如图,以,O,为原点,OB,OC,OO,1,所在直线分别为,x,y,z,轴,建立空间直角坐标系,.,设棱长为,2,因为,CBA=,60,所以,OB=,OC=,1,所以,O,(0,0,0),B,1,(,0,2),C,1,(0,1,2),平面,CB,1,D,的一个法向量为,n,=,(0,1,0),探究一探究二素养形成当堂检测(1)证明:因为四边形ACC1A,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,探究一探究二素养形成当堂检测,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,反思感悟,利用向量方法求二面角的大小时,多采用求法向量的方法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐二面角还是钝二面角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来,.,探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 利用向量方法求二面角的,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,延伸探究,如果本例条件不变,求二面角,B-A,1,C-D,的余弦值,.,探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究 如果本例条件不变,求二,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,变式训练,2,如图所示,在几何体,S-ABCD,中,AD,平面,SCD,BC,平面,SCD,AD=DC=,2,BC=,1,又,SD=,2,SDC=,120,求平面,SAD,与平面,SAB,所成角的余弦值,.,探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2如图所示,在几何体S-,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,解,:,如图,过点,D,作,DC,的垂线交,SC,于,E,以,D,为原点,以,DC,DE,DA,所在直线分别为,x,y,z,轴建立空间直角坐标系,.,SDC=,120,SDE=,30,又,SD=,2,点,S,到,y,轴的距离为,1,探究一探究二素养形成当堂检测解:如图,过点D作DC的垂线交S,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,探究一探究二素养形成当堂检测,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,用逆向思维解决二面角问题,案例,如图,已知四棱台,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的上、下底面分别是边长为,3,和,6,的正方形,A,1,A=,6,且,A,1,A,底面,ABCD,点,P,Q,分别在棱,DD,1,BC,上,.,(1),若,P,是,DD,1,的中点,证明,:,AB,1,PQ,;,(2),若,PQ,平面,ABB,1,A,1,二面角,P-QD-A,的余弦值为,求四面体,ADPQ,的体积,.,探究一探究二素养形成当堂检测用逆向思维解决二面角问题,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,(1),证明,:,由题设知,AA,1,AB,AD,两两垂直,以,A,为坐标原点,AB,AD,AA,1,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为,A,(0,0,0),B,1,(3,0,6),D,(0,6,0),D,1,(0,3,6),Q,(6,m,0),其中,m=BQ,0,m,6,.,探究一探究二素养形成当堂检测(1)证明:,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,探究一探究二素养形成当堂检测,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,探究一探究二素养形成当堂检测,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,归纳提升,此类问题属于结论探索类问题,.,解决此类问题要注意分析题目的整体结构,在此基础上建立空间直角坐标系,引入参数,将所求问题先转化为一个含参数的方程问题,参数确定后其他问题就迎刃而解,.,探究一探究二素养形成当堂检测归纳提升此类问题属于结论探索类问,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,1,.,已知平面,内有一个以,AB,为直径的圆,PA,点,C,在圆周上,(,异于点,A,B,),点,D,E,分别是点,A,在,PC,PB,上的射影,则,(,),A,.,ADE,是二面角,A-PC-B,的平面角,B,.,AED,是二面角,A-PB-C,的平面角,C,.,DAE,是二面角,B-PA-C,的平面角,D,.,ACB,是二面角,A-PC-B,的平面角,答案,:,B,探究一探究二素养形成当堂检测1.已知平面内有一个以AB为直,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,答案,:,C,探究一探究二素养形成当堂检测答案:C,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,3,.,已知两平面的法向量分别为,m=,(0,1,0),n=,(0,1,1),则两平面所成的二面角为,(,),A.45,B,.,135,C.45,或,135,D,.,90,答案,:,C,探究一探究二素养形成当堂检测3.已知两平面的法向量分别为m=,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,探究一探究二素养形成当堂检测,探究一,探究二,素养形成,当堂检测,5,.,在底面为直角梯形的四棱锥,S-ABCD,中,ABC=,90,SA,平面,ABCD.SA=AB=BC=,1,AD=,求平面,SCD,与平面,SAB,所成角的余弦值,.,探究一探究二素养形成当堂检测5.在底面为直角梯形的四棱锥S-,
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