建模与仿真微分方程模型课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,很难找到系统有关变量间的直接关系,容易找到变量与他们的微分（变化率）之间的关系,第五章 微分方程模型,很难找到系统有关变量间的直接关系容易找到变量与他们的微分（变,动态模型,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征,微分方程建模的方法和步骤,建立微分方程,建立函数、自变量及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系,方程求解和结果分析,牛顿运动定律,应用已知的模型建立新的微分方程模型,模拟近似法,根据规律列方程,微元分析法,利用已知的定律，通过取极限的方法或通过任意区域上取积分的方法得到微分方程,根据实际资料或大量实验数据，提出假设，找出实际现象满足的规律，建立模型，通过模型解与实际情况的对比判断该方程能否模拟实际情况,数值解法、图解法,微分方程建模的方法和步骤建立微分方程建立函数、自变量及函数对,微分方程建模综合实例一,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,传染病模型,微分方程建模综合实例一问题 描述传染病的传播过程 分析受感染,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,?,已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以,模型,2,区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2,）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻(日,模型,3,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,ts=0:50;,x0=0.02,0.98;,t,x=ode45(ill,ts,x0);,t,x,plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,plot(x(:,2),x(:,1),grid,function y=ill(t,x)ts=0:50;,i(t),、,s(t),图形,is,图形（相轨线）,i(t)、s(t)图形is图形（相轨线）,模型,4,消去,dt,SIR,模型,相轨线 的定义域,相轨线,1,1,s,i,0,D,在,D,内作相轨线 的图形，进行分析,模型4消去dtSIR模型相轨线 的定义域,s,i,1,0,1,D,模型,4,SIR,模型,相轨线 及其分析,传染病蔓延,传染病不蔓延,s,(,t,),单调减,相轨线的方向,P,1,s,0,i,m,P,1,:,s,0,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,si101D模型4SIR模型相轨线 及其分,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率),模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值,1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x,T,c,1,(,t,),和,c,2,(,t,),按指数规律趋于零,药物以速率,k,0,进入中心室,0,T,t,2.恒速静脉滴注t T,c1(t)和 c2(t)按指数规,吸收室,中心室,3,.,口服或肌肉注射,相当于药物,(,剂量,D,0,),先进入吸收室，吸收后进入中心室,吸收室药量,x,0,(,t,),吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入,参数估计,各种给药方式下的,c,1,(,t,),c,2,(,t,),取决于参数,k,12,k,21,k,13,V,1,V,2,t,=0,快速静脉注射,D,0,在,t,i,(,i,=1,2,n,),测得,c,1,(,t,i,),由较大的 用最小二乘法定,A,由较小的 用最小二乘法定,B,参数估计各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参,参数估计,进入中心室的药物全部排除,参数估计进入中心室的药物全部排除,背景,年,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,5.6,如何预报人口的增长,背景 年 1625 1830,指数增长模型,马尔萨斯提出,(,1798,),常用的计算公式,x,(,t,),时刻,t,的,人口,基本假设,:,人口,(,相对,),增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19,世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数,(,逐渐下降,),指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线,x,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位,百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家估计,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),r,=0.2557,x,m,=392.1,参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 利用统计数据用最,模型检验,用模型计算,2000,年美国人口，与实际数据比较,实际为,281.4(,百万,),模型应用,预报美国,2010,年的人口,加入,2000,年人口数据后重新估计模型参数,Logistic,模型在经济领域中的应用,(,如耐用消费品的售量,),阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),r,=0.2490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为2,5.7,人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,5.7 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,0,t,r,人口发展方程已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）0,生育率的分解,总和生育率,h,生育模式,0,生育率的分解总和生育率h生育模式0,人口发展方程和生育率,总和生育率,控制生育的多少,生育模式,控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口发展方程和生育率总和生育率控制生育的多少生育模式,人口指数,1,）人口总数,2,）平均年龄,3,）平均寿命,t,时刻出生的人，死亡率按,(,r,t,),计算的平均存活时间,4,）老龄化指数,控制生育率,控制,N,(,t,),不过大,控制,(,t,),不过高,人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，,思考：,从人口模型看到，总和生育率,(t),和生育模式,h(r,t),是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个小孩、晚婚晚育、及生第二胎的政策，可以怎样通过这两种手段加以实施,只生一个孩子，即总和生育率,(t)=1,晚婚晚育相当于生育模式,h(r),中使得,r,1,和,r,c,增大,生育第二胎的规定可相当于,(t),略高于,1,，且,h(r),曲线扁平一些,思考：只生一个孩子，即总和生育率(t)=1晚婚晚育相当于生,