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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,5.3,泰勒,(Taylor),公式,1二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立三、泰勒,2,特点,:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式,:,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,x,的一次多项式,2特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式,3,1.,求,n,次近似多项式,要求,:,故,令,则,31.求 n 次近似多项式要求:故令则,4,2.,余项估计,令,(,称为余项,),则有,42.余项估计令(称为余项),则有,5,5,6,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的拉格朗日余项,.,泰勒中值定理,:,阶的导数,时,有,其中,则当,6公式 称为 的 n 阶泰勒公式.公式,7,公式,称为,n,阶泰勒公式的佩亚诺,(Peano),余项,.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*,可以证明,:,式成立,7公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项,8,特例,:,(1),当,n,=0,时,泰勒公式变为,(2),当,n,=1,时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,8特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为(2)当,9,称为麦克劳林（,Maclaurin,）公式,.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,9称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公,10,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,10二、几个初等函数的麦克劳林公式其中,11,其中,11其中,12,类似可得,其中,12类似可得其中,13,其中,13其中,14,已知,其中,类似可得,14已知其中类似可得,15,三、泰勒公式的应用,1.,在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含,0,x,的某区间上的上界,.,需解问题的类型,:,1),已知,x,和误差限,要求确定项数,n,;,2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,3),已知项数,n,和误差限,确定公式中,x,的适用范围,.,15三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用 误差M 为在,16,已知,例,1.,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解,:,令,x,=1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,=9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,16已知例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解,17,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响,.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,.,17说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入,18,例,2.,用近似公式,计算,cos,x,的近似值,使其精确到,0.005,试确定,x,的适用范围,.,解,:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005.,18例2.用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到,19,2.,利用泰勒公式求极限,例,3.,求,解,:,由于,用洛必塔法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,192.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必塔法则不,20,3.,利用泰勒公式证明不等式,例,4.,证明,证,:,203.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:,21,内容小结,1.,泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式,.,21内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.,22,2.,常用函数的麦克劳林公式,3.,泰勒公式的应用,(1),近似计算,(3),其他应用,求极限,证明不等式 等,.,(2),利用多项式逼近函数,222.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1),23,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,2342246420246泰勒多项式逼近,24,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,2442246420246泰勒多项式逼近,25,思考与练习,计算,解,:,原式,25思考与练习 计算解:原式,26,由题设对,证,:,备用题,1.,有,且,26由题设对证:备用题 1.有且,27,下式减上式,得,令,27下式减上式,得令,28,两边同乘,n,!,=,整数,+,假设,e,为有理数,(,p,q,为正整数,),则当,时,等式左边为整数,;,矛盾,!,2.,证明,e,为无理数,.,证,:,时,当,故,e,为无理数,.,等式右边不可能为整数,.,28两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,
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