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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章,4.5,函数的应用,(,二,),4.5.1,函数的零点与方程的解,第四章4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程,1,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.,了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系,.,2.,会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间,.,3.,能借助函数单调性及图象判断零点个数,.,学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数的零点、方程的解与,2,知识点一函数的零点,对于函数,y,f,(,x,),，我们把,使,的,实数,x,叫做函数,y,f,(,x,),的,.,方程、函数、图象之间的关系：,方程,f,(,x,),0,函数,y,f,(,x,),函数,y,f,(,x,),的图象,与,有,交点,.,f,(,x,),0,零点,有实数解,有零点,x,轴,知识点一函数的零点对于函数yf(x)，我们把使,3,思考,(1),函数的,“,零点,”,是一个点吗？,答案,不是；,(2),函数,y,x,2,有零点吗,？,答案,有零点，零点为,0.,思考(1)函数的“零点”是一个点吗？答案不是；(2)函数,4,知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与,x,轴的交点,方程,f,(,x,),0,的实数解,函数,y,f,(,x,),的,函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点,的,.,零点,横坐标,知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(,5,思考,函数,f,(,x,),ax,2,x,2,有一个零点是,1,，这个函数还有其他零点吗？,答案,f,(,x,),ax,2,x,2,有一个零点是,1,，即,a,1,2,1,2,0,，,a,1,，,f,(,x,),x,2,x,2,，令,x,2,x,2,0,，得,x,1,或,x,2,，,这个函数还有一个零点为,2.,思考函数f(x)ax2x2有一个零点是1，这个函数还,6,知识点三函数零点存在定理,如果函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是一,条,的,曲线，并且,有,，,那么，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内,，,即存在,c,(,a,，,b,),，,使得,，,这个,c,也就是方程,f,(,x,),0,的解,.,连续不断,f,(,a,),f,(,b,)0,，则,f,(,x,),在,a,，,b,内无零点,.(,),3.,若,f,(,x,),在,a,，,b,上为单调函数，且,f,(,a,),f,(,b,)0,，则,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内有且只有一个零点,.(,),4.,若,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内有且只有一个零点，则,f,(,a,),f,(,b,)0,，,f,(,1),40,，所以在区间,(,3,，,1),内必有实数根,，,又,f,(2),40,，,所以,在区间,(2,4),内必有实数根，故选,A.,(2),二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,的部分对应值如下表：,x,3,2,1,0,1,2,3,4,f,(,x,),6,m,4,6,6,4,n,6,不求,a,，,b,，,c,的值，判断方程,ax,2,bx,c,0,的两根所在的区间是,A.(,3,，,1),，,(2,4),B,.(,3,，,1),，,(,1,1),C.(,1,1),，,(1,2),D,.(,，,3),，,(4,，,),解析因为f(3)60，f(1)40，所以在区,15,反思感悟,判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断,.,反思感悟判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数,16,A.(1,2),B,.(2,3),C.(3,4),D,.(e,，,),解析,由题意知，,f,(,x,),在定义域,(0,，,),上单调递增，,f,(1),20,，,f,(2),ln 2,10,，,在,(1,2),内,f,(,x,),无零点；,f,(2),f,(3)0,时，由,f,(,x,),2,ln,x,0,得,x,e,2,.,函数的零点个数为,2.,三、判断函数零点个数A.3 B.2 C.1,18,(2),判断函数,f,(,x,),ln,x,x,2,3,的零点的个数,.,(2)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.,19,解,方法一,函数对应的方程为,ln,x,x,2,3,0,，,所以原函数零点的个数即为函数,y,ln,x,与,y,3,x,2,的图象交点个数,.,在同一坐标系下，作出两函数的图象,(,如图,).,由图象知,，,函数,y,3,x,2,与,y,ln,x,的图象在,x,(0,，,),只有一个交点,，,从而,ln,x,x,2,3,0,有一个根，,即函数,f,(,x,),ln,x,x,2,3,有一个零点,.,方法二,由于,f,(1),ln 1,1,2,3,20,，,f,(1),f,(2)0,，,又,f,(,x,),ln,x,x,2,3,的图象在,(1,2),上是不间断的,，,f,(,x,),在,(1,2),上必有零点，,又,f,(,x,),在,(0,，,),上是单调递增的,，,零点只有一个,.,解方法一函数对应的方程为ln xx230，,20,反思感悟,判断函数存在零点的,3,种方法,(1),方程法：若方程,f,(,x,),0,的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数,.,(2),图象法：由,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),0,，得,g,(,x,),h,(,x,),，在同一坐标系内作出,y,1,g,(,x,),和,y,2,h,(,x,),的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数,.,(3),定理法：函数,y,f,(,x,),的图象在区间,a,，,b,上是一条连续不断的曲线，由,f,(,a,),f,(,b,)0,即可判断函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点,.,若函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上是单调函数，则函数,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内只有一个零点,.,反思感悟判断函数存在零点的3种方法,21,跟踪训练,3,求函数,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,零点的个数,.,解,方法一,f,(0),1,0,2,10,，,又,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,在,(,1,，,),上为单调增函数，,f,(,x,),在,(0,1),上必定存在零点,.,故函数,f,(,x,),有且只有一个零点,.,方法二,在同一坐标系下作出,h,(,x,),2,2,x,和,g,(,x,),lg(,x,1),的草图,.,由图象知,g,(,x,),lg(,x,1),的图象和,h,(,x,),2,2,x,的图象有且只有一个交点，,即,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,有且只有一个零点,.,跟踪训练3求函数f(x)2xlg(x1)2零点的个,22,典例,函数,f,(,x,),x,2,2|,x,|,a,1,有四个不同的零点，求实数,a,的取值范围,.,根据零点情况求参数范围,核心素养,之直观想象,HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG,解,由,f,(,x,),0,得,a,1,2|,x,|,x,2,，,因为函数,f,(,x,),x,2,2|,x,|,a,1,有四个不同的零点，,所以函数,y,a,1,与,y,2|,x,|,x,2,的图象有四个交点，,画出函数,y,2|,x,|,x,2,的图象，如图所示,，,观察图象可知，,0,a,11,，所以,1,a,2,.,典例函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，,23,素养提升,函数的零点即函数图象与,x,轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养,.,素养提升函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两,24,3,随堂演练,PART,THREE,3随堂演练PART THREE,25,1,2,3,4,5,1.,函数,y,ln,x,的零点是,A.(0,0),B.0 C.1 D,.,不存在,123451.函数yln x的零点是,26,1,2,3,4,5,2.,下列各图象表示的函数中没有零点的是,123452.下列各图象表示的函数中没有零点的是,27,1,3,4,5,2,13452,28,1,3,4,5,2,1,134521,29,解,当,a,0,时，函数为,y,x,1,，显然该函数的图象与,x,轴只有一个交点,，,即,函数只有一个零点,.,当,a,0,时，函数,y,ax,2,x,1,为二次函数,.,因为函数,y,ax,2,x,1,只有一个零点，,所以方程,ax,2,x,1,0,有两个相等的实根,.,1,3,4,5,2,5.,若函数,y,ax,2,x,1,只有一个零点，求实数,a,的值,.,解当a0时，函数为yx1，显然该函数的图象与x轴只,30,课堂小结,KE TANG XIAO JIE,1.,知识清单：,(1),函数的零点定义,.,(2),函数零点存在定理,.,2.,方法归纳：,(1),转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与,x,轴的交点,.,(2),数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题,.,3.,常见误区：零点不是点，而是数，是图象与,x,轴交点的横坐标,.,课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：,31,
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