空间直角坐标系与向量

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、空间直角坐标系,三、向量的线性运算,二、向量的概,念,空间直角坐标系与向量代数,第七章,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系,.,坐标原点,坐标轴,x,轴,(,横轴,),y,轴,(,纵轴,),z,轴,(,竖轴,),过空间一定点,o,坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,1.,空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标,:,有序数组,(,称为点,M,的,坐标,),原点,O,(0,0,0);,坐标轴,:,坐标面,:,为空间两点,.,在直角三角形,和,中,用,勾股定理,2.,空间两点间点的距离,空间两点间距离公式,例,1.,在,y,轴上求与两点,解,:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考,:,(1),如何求在,xoy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,(2),如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,等距,离的点,.,向量表示,:,向量的模,:,向量的大小,二、向量的概念,向量,:,(,又称,矢量,).,既有,大小,又有,方向,的量称为向量,向径,(,矢径,):,自由向量,:,与起点无关的向量,.,起点为原点的向量,.,单位向量,:,模为,1,的向量,零向量,:,模为,0,的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a,规定,:,零向量与任何,向量平行,;,若向量,a,与,b,大小相等,方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,;,与,a,的模相同,但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,若,k,(3),个向量经平移可移到同一平面上,则称此,k,个向量,共面,.,记作,a,;,模、方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,方向余弦的性质,:,空间一点在轴上的投影,过点,A,作轴,u,的垂直平面,即为点,A,在轴,u,上,的,投影,.,空间一向量在轴上的投影,轴,u,称为投影轴,.,已知向量的起点,A,和终点,B,在轴,u,上的投影分别为,那么轴,u,上的有向线段,的值,称为向量在轴,u,上的,投影,.,1.,向量在轴上的投影,三、向量的,线性运算,Projection,在轴,u,上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴,u,上的,投影,记为,投影性质,1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,注,负之分,;,模只为正值,.,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和,.,投影性质,2,：,两向量和在轴上的投影,u,A,B,c,A,B,c,投影性质,3,1,证,u,B,A,例,+,2,1,u,u,B,A,坐标依次为,、,.,),(,1,2,e,u,u,r,-,=,e,u,e,u,r,r,1,2,-,=,2.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,的投影,如 是与轴,u,正向一致的单位向量,因此,可知,:,上坐标分别为,起点,终点,向量在,x,轴上的投影,向量在,y,轴上的投影,向量在,z,轴上的投影,按基本单位向量的,坐标分解式,：,向量的,坐标表达式,：,坐标,坐标,坐标,x,轴,分向量,y,轴,分向量,z,轴,分向量,特殊地,例,+.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角,.,解,:,计算向量,例,+.,设点,A,位于第一卦限,解,:,已知,角依次为,求点,A,的坐标,.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,三角形法则,:,平行四边形法则,:,运算规律,:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加,.,3,、向量的加减法,-,加法,三角不等式,定义,2,：设,则,减法,是一个数,规定,:,可见,与,a,的乘积是一个新向量,记作,总之,:,运算律,:,结合律,分配律,因此,4.,向量与数的乘法,性质,1.,设,a,为非零向量,则,a,b,(,为唯一实数,),设,则,定义,3,：,性质,2.,取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量,则任意向量,可分解为,例,2.,解,:,由向量的运算性质得,求,例,3.,证明连接三角形两边中点的线段平行于,第三边且等于第三边的一半。,证明,:,所以有,且,例,4.,已知两点,在,AB,直线上求一点,M,使,解,:,设,M,的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明,:,由,得,定比分点公式,:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,5,、两向量的数量积,1,）,.,定义,设向量,的夹角为,称,记作,数量积,(,点积,).,5,、两向量的数量积,记作,故,2,）,.,性质,为两个非零向量,则有,3,）,.,运算律,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,事实上,当,时,显然成立,;,4,）,.,数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例,5.,已知,解,:,求,故,例,6+.,已知三点,AMB,.,解,:,则,求,故,1,）,.,定义,定义,向量,方向,:,(,叉积,),记作,且符合右手规则,模,:,向量积,称,例如力矩,思考,:,右图三角形面积,S,6,、两向量的向量积,2,）,.,性质,为非零向量,则,3,）,.,运算律,(2),分配律,(3),结合律,(,证明略,),证明,:,4,）,.,向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,(,行列式计算见,P339,P342),例,6,已知,求与 都垂直且满足如下之一条件的向量,:,(1),为单位向量,;,(2),其中,解,与,都垂直,所以与,(2),设,则,又,得,所以,(1),例,6+.,已知三点,角形,ABC,的面积,.,解,:,如图所示,求三,7,、向量的混合积,1,）定义,已知三向量,称数量,混合积,.,记作,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2,）,混合积的坐标表示,设,3,）,性质,(1),三个非零向量,共面的充要条件是,(2),轮换对称性,:,(,可用三阶行列式推出,),例,7.,已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积,.,解,:,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,补充例,.,证明四点,共面,.,解,:,因,故,A,B,C,D,四点共面,.,内容小结,设,1.,向量运算,加减,:,数乘,:,点积,:,叉积,:,混合积,:,2.,向量关系,:,思考与练习,1.,设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦,.,答案,:,2.,用向量方法证明正弦定理,:,