资源描述
,必备知识,自主学习,核心素养,微专题,核心考点,精准研析,核心素养测评,第三课时,导数的存在性问题,第三课时,内容索引,核心考点,精准研析,核心素养测评,内容索引核心考点精准研析,考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题,【典例】,1.(2020,泰安模拟,),若函数,f(x)=ax,3,-x,2,+1,存在唯一的零点,x,0,且,x,0,0,则实数,a,的取值范围是,(,),考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题,2.(2020,深圳模拟,),已知函数,f(x)=,若方程,f(x),2,=a,恰有两个不,同的实数根,x,1,x,2,则,x,1,+x,2,的最大值是,_.,2.(2020深圳模拟)已知函数f(x)=,【解题导思】,【解题导思】,【解析】,1.,选,A.,由函数,f(x)=ax,3,-x,2,+1,存在唯一的零点,x,0,且,x,0,0,等价于,a=,有唯一正根,即函数,y=g(x)=,的图象与直线,y=a,在,y,轴右侧有,1,个交点,又,y=g(x),为奇函数且,g,(x)=,【解析】1.选A.由函数f(x)=ax3-x2+1存在,则,y=g(x),在,(-,-),(,+,),上为减函数,在,(-,0),(0,),上为增,函数,则满足题意时,y=g(x),的图象与直线,y=a,的位置关系如图所示,即实数,a,的取值范围是,a1,即,a1,不妨设,x,1,1),则,x,1,=x,2,=ln t,所以,x,1,+x,2,=ln t-,令,g(t)=ln t-,则,g,(t)=,所以当,1t0,g(t),在,(1,8),上递增,;,当,t8,时,g,(t)0,则,a,的取值范围为,_.,【思维多变】,【解析】,当,a=0,时,不符合题意,.,a0,时,f,(x)=3ax,2,-6x,令,f,(x)=0,得,x,1,=0,x,2,=,若,a0,由图象知,f(x),有负数零点,不符合题意,.,【解析】当a=0时,不符合题意.,若,a0,知,此时必有,0,即 化简得,a,2,4,又,a0,所以,a,【规律方法】,导数法研究函数零点的存在性问题的策略,(1),基本依据,:,函数零点的存在性定理,.,(2),注意点,:,函数零点的存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件,.,(3),基本方法,:,导数法分析函数的单调性、极值、区间端点函数值,画出函数的草图,数形结合求参数的值,.,(4),常见技巧,:,将已知等式适当变形,转化为有利于用导数法研究性质的形式,.,【规律方法】导数法研究函数零点的存在性问题的策略,【变式训练】,已知函数,f(x)=x+e,x-a,g(x)=ln(x+2)-4e,a-x,其中,e,为自然对数的底数,若存在,x,0,使,f(x,0,)-g(x,0,)=3,成立,则实数,a,的值为,(,),A.ln 2,B.ln 2-1,C.-ln2 D.-ln 2-1,【变式训练】,【解析】,选,D.f(x)-g(x)=x+e,x-a,-ln(x+2)+4e,a-x,令,y=x-ln(x+2),y,=,故,y=x-ln(x+2),在,(-2,-1),上是减函数,(-1,+,),上是增函数,故当,x=-1,时,y,有,最小值,-1-0=-1,而,e,x-a,+4e,a-x,4(,当且仅当,e,x-a,=4e,a-x,即,x=a+ln 2,时,等号成立,);,故,f(x)-g(x)3(,当且仅当等号同时成立时,等号成立,);,故,a+ln 2=-1,即,a=-1,-ln 2.,【解析】选D.f(x)-g(x)=x+ex-a-ln(x+2,考点二关于函数极值、最值的存在性问题,【典例】,(2019,大连模拟,),已知,x=1,是函数,f(x)=ax,2,+-xln x,的极值点,.,世纪金榜导学号,(1),求实数,a,的值,.,(2),求证,:,函数,f(x),存在唯一的极小值点,x,0,且,0f(x,0,),(,参考数据,:ln 20.69,16e,5,7,4,其中,e,为自然对数的底数,),考点二关于函数极值、最值的存在性问题,【解题导思】,【解题导思】,【解析】,(1),因为,f,(x)=2ax-ln x,且,x=1,是极值点,所以,f,(1)=2a-=0,所以,a=.,此时,f,(x)=-ln x,设,g(x)=f,(x),则,g,(x)=,则当,0 x2,时,g,(x)0,g(x),为减函数,.,又,g(1)=0,g(2)=-ln 20,所以当,0 x0,f(x),为增函数,;,当,1x2,时,g(x)2,时,g,(x)0,g(x),为增函数,且,g(4)=-2ln 20,g(2)0,所以存在,x,0,(2,4),g(x,0,)=0.,当,2xx,0,时,g(x)xx,0,时,g(x)0,f(x),为增函数,所以函数,f(x),存在唯一的极小值点,x,0,.,又 已知,16e,5,7,4,可得,e,5,54ln ,所以,g 0,所以,x,0,2时,g(x)0,g(x)为增函数,且g(4,【规律方法】,导数法研究函数极值、最值存在性问题的原则,(1),弄清用导数法求函数,(,不含参数,),的极值、最值的一般步骤,及关键步骤要注意的问题,.,(2),在某区间上函数存在极值点,即方程,f(x)=0,一定有根,但方程有根,并不一定是极值点,还要判断函数的单调性,看原函数在此根的左右两侧是否出现单调性改变,通常要结合函数图象解决,.,(3),在某区间上函数存在最值,通常假设存在最值,根据题目条件求出后构建方程,解出参数的值并进行检验,.,【规律方法】导数法研究函数极值、最值存在性问题的原则,【变式训练】,(2019,抚顺模拟,),已知函数,f(x)=ln x-ax-3(a0).,(1),讨论函数,f(x),的单调性,.,(2),若函数,f(x),有最大值,M,且,Ma-5,求实数,a,的取值范围,.,【变式训练】,【解析】,(1)f(x),的定义域为,(0,+,),由已知得,f,(x)=-a,当,a0,所以,f(x),在,(0,+,),内单调递增,无减区间,;,当,a0,时,令,f,(x)=0,得,x=,所以当,x,时,f,(x)0,f(x),单调递增,;,当,x,时,f,(x)0,f(x),单调递减,.,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),(2),由,(1),知,当,a0,时,函数,f(x),在,x=,取得最大值,即,f(x),max,=f =ln -4=-ln a-4,因此有,-ln a-4a-5,得,ln a+a-10,所以,g(a),在,(0,+,),内单调递增,又,g(1)=0,所以,g(a)g(1),得,0a1,故实数,a,的取值范围是,(0,1).,(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)内单调递,考点三关于不等式的存在性问题,【典例】,1.,已知,f(x)=g(x)=-x,2,-2ax+4,若对,x,1,(0,2,x,2,1,2,使得,f(x,1,)g(x,2,),成立,则,a,的取值范围是,(,),考点三关于不等式的存在性问题,【解题导思】,【解题导思】,【解析】,选,A.,因为,f(x)=ln x-x(0,2,所以,f,(x)=,令,f,(x)=0,解得,x=1,或,x=3(,舍,),从而,0 x1,f,(x)0;1x0;,所以当,x=1,时,f(x),取最小值,为,【解析】选A.因为f(x)=ln x-x(0,因此,x1,2,使得,-x,2,-2ax+4,成立,所以,a,因为,y=,在,1,2,上单调递减,所以 的最小值为,因此,a-.,因此x1,2,使得 -x2-2ax+4成立,所,2.,已知函数,f(x)=ax-e,x,(aR),g(x)=,世纪金榜导学号,(1),求函数,f(x),的单调区间,.,(2),x,0,(0,+),使不等式,f(x)g(x)-e,x,成立,求,a,的取值范围,.,2.已知函数f(x)=ax-ex(aR),g(x)=,【解题导思】,【解题导思】,【解析】,(1),因为,f,(x)=a-e,x,xR.,当,a0,时,f,(x)0,时,令,f,(x)=0,得,x=ln a.,由,f,(x)0,得,f(x),的单调递增区间为,(-,ln a);,由,f,(x)0,时,f(x),的单调增区间为,(-,ln a);,单调减区间为,(ln a,+,).,【解析】(1)因为f(x)=a-ex,xR.,(2),因为,x,0,(0,+,),使不等式,f(x)g(x)-e,x,所以,ax,即,a,设,h(x)=,则问题转化为,a,由,h,(x)=,令,h,(x)=0,则,x=.,(2)因为x0(0,+),使不等式f(x)g(x)-,当,x,在区间,(0,+,),内变化时,h,(x),h(x),的变化情况如下表,:,由上表可知,当,x=,时,函数,h(x),有极大值,即最大值为,.,所以,a .,当x在区间(0,+)内变化时,h(x),h(x)的变化情,【规律方法】,1.,不等式存在性问题的求解策略,“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即,f(x)g(a),对于,xD,恒成立,应求,f(x),的最小值,;,若存在,xD,使得,f(x)g(a),成立,应求,f(x),的最大值,.,在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值,这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值,.,特别需要关注等号是否成立,以免细节出错,.,【规律方法】,2.,两个常用结论,(1),xI,使得,f(x)g(x),成立,f(x)-g(x),max,0(xI).,(2),对,x,1,D,1,x,2,D,2,使得,f(x,1,)g(x,2,),f(x),min,g(x),min,f(x),的定义域为,D,1,g(x),的定义域为,D,2,.,2.两个常用结论,【变式训练】,已知,f(x)=ln x-x+a+1.,(1),若存在,x(0,+),使得,f(x)0,成立,求实数,a,的取值范围,.,(2),求证,:,当,x1,时,在,(1),的条件下,x,2,+ax-axln x+,成立,.,【变式训练】,【解析】,f(x)=ln x-x+a+1(x0).,(1),原题即为存在,x(0,+,),使得,ln x-x+a+10,所以,a-ln x+x-1,令,g(x)=-ln x+x-1,则,g,(x)=-+1=,令,g,(x)=0,解得,x=1.,因为当,0 x1,时,g,(x)0).,当,x1,时,g,(x)0,所以,g(x),为增函数,所以,g(x),min,=g(1)=0.,所以,ag(1)=0.,所以,a,的取值范围为,0,+,).,当x1时,g(x)0,所以g(x)为增函数,(2),原不等式可化为,x,2,+ax-xln x-a-0(x1,a0).,令,G(x)=x,2,+ax-xln x-a-,则,G(1)=0.,由,(1),可知,x1,时,x-ln x-10,则,G,(x)=x+a-ln x-1,x-ln x-10,所以,G(x),在,(1,+,),上递增,(2)原不等式可化为 x2+ax-xln x-a-,所以当,x1,时,G(x)G(1)=0.,所以当,x1,时,x,2,+ax-xln x-a-0,成立,即当,x1,时,x,2,+ax-axln x+,成立,.,所以当x1时,G(x)G(1)=0.,
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