数值分析7-向量范数与矩阵范数ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Hilbert,矩阵的病态性,向量范数与,矩阵范数,矩阵的条件数,定位问题的条件数,数值分析,7,Hilbert矩阵的病态性数值分析7,1,引例,.Hilbert,矩阵的病态性,方程组,Ax=b,1,的解为,x,1,方程组,Ax=b,的解为,x,x x,1,=-2.4 27.0,-64.8,42.0,T,2/18,数据计算结果,引例.Hilbert矩阵的病态性方程组 Ax=b1,2,A=hilb(4);b=1;2;1.41;2;,b1=b;b1(3)=b1(3)+.01;,x=Ab;x1=Ab1;error=x-x1;,format short e,x,x1,error,ans=,-1.6560e+002 -1.6320e+002 -2.4000e+000,1.8330e+003 1.8060e+003 2.7000e+001,-4.4232e+003 -4.3584e+003,-6.4800e+001,2.8980e+003 2.8560e+003 4.2000e+001,数值试验程序,3/18,A=hilb(4);b=1;2;1.41;2;ans,3,定义,3.1,设,R,n,是,n,维向量空间,如果对任意,x,R,n,都有一个实数与之对应,且满足如下三个条件,:,(1),正定性,:|,x|,|0,且|,x,|=0 ,x,=0;,(2),齐次性,:,为任意实数,(3),三角不等式,:(,y,R,n,),则称,|,x,|,为向量,x,的范数,.,注,:,向量范数是向量长度概念的推广,.,例如,是向量,x,的范数,4/18,定义3.1 设 Rn是n维向量空间,如果对任意xRn,都有,4,常用的范数,:,例1.证明|,x|,2,是,R,n,上的一种范数,先证明柯西不等式:|,x,T,y|,|,x|,2,|,y|,2,对任意实数,有(,x-,y,),T,(,x-,y,),0,x,T,x,2,x,T,y+,2,y,T,y,0,|,x,T,y|,2,(,x,T,x,)(,y,T,y,)0,|,x,T,y|,|,x|,2,|,y|,2,判别式,5/18,常用的范数:例1.证明|x|2 是 Rn 上的一,5,(,三角不等式成立,),(,正定性成立,),(,齐次性成立,),6/18,(三角不等式成立)(正定性成立)(齐次性成立)6/18,6,例,2.,范数意义下的单位向量,:X=,x,1,x,2,T,1,-1,1,|X|,1,=1,1,1,-1,-1,|X|,2,=1,-1,1,1,-1,-1,|X|,=1,7/18,例2.范数意义下的单位向量:X=x1,x2T1-,7,例,3.,设,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,证明,证明,:,所以,思考,:,8/18,例3.设x=(x1,x2,xn)T,证明证,8,定义,3.2,对,A,R,n,n,存在实数,|A|,满足,:,则称,|,A,|,是矩阵,A,的一个范数,.,(1),正定性,:|,A|,|0,且|,A,|=0,A,=0;,(2),齐次性,:,为任意实数,(3),三角不等式,:(,B,R,n,n,),(4),相容性,:,Frobenius,范数,9/18,定义3.2 对 A Rnn,存在实数|A|满足:,9,矩阵算子范数的概念,设,|x|,是,R,n,上的向量范数,A,R,n,n,则,A,的非负函数,称为矩阵,A,的算子范数,注,1,:,矩阵的算子范数由向量范数所导出,如,注,2,:,算子范数满足相容性,其中,A,R,n,n,x,R,n,10/18,矩阵算子范数的概念设|x|是Rn上的向量范数,ARn,10,“1-,范数,”(,列和范数,),无穷大范数,(,行和范数,),例,X=-3 5,T,求,A,、,X,的,“1-,范数,”,“2-,范数,”,和,“,无穷大范数,”,11/18,“1-范数”(列和范数)无穷大范数(行和范数)例,11,1,=,26.1803,2,=,3.8197,12/18,1=26.1803,2=3.819712/18,12,矩阵的,条件数,概念,方程组,Ax=b,右端项,b,有一扰动,引起方程组解,x,的扰动,设,x,是方程组,Ax=b,的解,则有,化简,得,由,Ax=b,得,所以,13/18,矩阵的条件数概念 方程组 Ax=b,右端项 b,13,定义条件数,:Cond(,A,)=|,A,1,|,A,|,或,C(,A,)=|,A,1,|,A,|,当条件数很大时,方程组,Ax=b,是病态问题,;,当条件数较小时,方程组,Ax=b,是良态问题,注,:,14/18,定义条件数:Cond(A)=|A1|A|,14,类似,设方程组,Ax=b,矩阵,A,有一扰动,时,将引起方程组解,x,的扰动,设,x,是方程组,Ax=b,的解,则有,化简,得,取范数,15/18,类似,设方程组 Ax=b,矩阵A 有一扰动,15,阶数 4 5 6,条件数1 19.410,5,2.910,7,9.810,8,条件数2 1.510,4,4.710,5,1.410,7,条件数,9.410,5,2.910,7,9.810,8,A famous example of a badly conditioned matrix,16/18,阶数 4,16,定位问题的条件数,|A|=,(,x,2,x,1,)(,y,3,y,1,)(,x,3,x,1,)(,y,2,y,1,),17/18,定位问题的条件数|A|=(x2 x1)(y3 y,17,Cond(,A,)=|,A,1,|,A,|,与|det(A)|成反比,18/18,Cond(A)=|A1|A|18/18,18,