不定积分概述课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,不定积分概述,不定积分概述,1,一、原函数的概念,由微分学知，若已知曲线方程y=f(x)，则可求出该曲线在任一点x处的切线的斜率k=f(x).例如，曲线y=x,2,在点x处切线的斜率为k=2x.,现在要解决其反问题：已知曲线上任意一点x处的切线的斜率，要求该曲线的方程.为此，引进原函数的概念.,一、原函数的概念 由微分学知，若已知曲线方程y,2,设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对任意xI均有,F(x)=f(x)或dFx=fxdx,则称函数Fx为fx在区间I上的一个,原函数.,例如，因为(sin x)=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又如，当x0时，(ln x)=1,/,x，所以ln x是1,/,x在区间0,+上的一个原函数.,对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将在下一章讨论，这里先介绍一个结论.,定义,1,一、原函数的概念,设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F,3,定理,1,（原函数存在定理）若函数f,(,x,),在区间I上连续,则函数f,(,x,),在区间I上存在原函数F,(,x,),.,由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都存在原函数.,如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原函数，而,(,x,2,+1,),=2x，故x,2,+1也是2x的一个原函数.,如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什么关系呢？,一、原函数的概念,定理1 （原函数存在定理）若函数f(x)在区间I,4,定理,2,若F,(,x,),是函数f,(,x,),在区间I上的一个原函数,则F,(,x,),+C（C为任意常数）是fx在区间I上的全体原函数.,定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且它们彼此相差一个常数.,事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则,F(x)G(x)=F(x)G(x)=f(x)f(x)=0,即,F(x)G(x)=C(C为任意常数)，,由此知道，若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则函数f(x)的全体原函数为F(x)+C(C为任意常数).,一、原函数的概念,定理2 若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个,5,求函数fx的原函数，实质上就是讨论它是由什么函数求导得来的.而若求得fx的一个原函数F,(,x,),，其全体原函数即为F,(,x,),+C.,注,意,一、原函数的概念,求函数fx的原函数，实质上就是讨论它是由什么函数求导得来的.,6,二、不定积分的概念,定义,2,若函数Fx是f,(,x,),在区间I上的一个原函数,则函数f,(,x,),的全体原函数F,(,x,),+C称为fx在区间I上的,不定积分,记为f,(,x,),dx,即,f,(,x,),dx=F,(,x,),+C，,其中记号“”称为,积分号,f,(,x,),称为被积函数,f,(,x,),dx称为,被积表达式,x称为,积分变量,C称为,积分常数,.,一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一族函数.,注,意,二、不定积分的概念定义2 若函数Fx是f(x),7,由不定积分的定义知，求函数f(x)的不定积分，就是求f(x)的全体原函数，在fxdx 中，积分号 表示对函数f(x)进行求原函数的运算，故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算.,二、不定积分的概念,由不定积分的定义知，求函数f(x)的不定积分，就是求f(,8,求e,x,dx.,解,因为,(,ex,),=ex,所以,e,x,dx=e,x,+C.,【,例,1】,二、不定积分的概念,求exdx.【例1】二、不定积分的概念,9,求1,/,xdx.,解,当x0时,因为,(,ln x,),=1,/,x，所以,1xdx=ln x+C;,当x0时,因为,所以,1,/,xdx=ln(x)+C.,综上可得，1,/,xdx=ln,|,x,|,+C.,【,例,2】,二、不定积分的概念,求1/xdx.【例2】二、不定积分的概念,10,三、不定积分的几何意义,函数f,(,x,),的一个原函数F(x)的图形称为f,(,x,),的一条积分曲线.因此，不定积分f,(,x,),dx=F,(,x,),+C对应的是一族积分曲线，称为f,(,x,),的积分曲线族.这就是不定积分的几何意义.f,(,x,),的积分曲线族有如下特点：,（1）积分曲线族中的每一条曲线都可以由某一条确定的积分曲线沿y轴的方向上、下平行移动得到.,三、不定积分的几何意义 函数f(x)的一个原函数,11,（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线的斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(见图4,-,1).,三、不定积分的几何意义,（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切,12,已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，且曲线过点(0,1)，求此曲线.,解,设所求的曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义知，y=3x,2,，由不定积分的定义知,y=3x,2,dx=x,3,+C,又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为,y=x,3,+1.,【,例,3】,三、不定积分的几何意义,已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方,13,谢谢聆听,谢谢聆听,14,