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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,24,章 圆,24.2.2,直线和圆的位置关系,（第三课时）,第24章 圆24.2.2 直线和圆的位置关系,切线,的判定定理,：,经过半径的,外端,并且,垂直,这,条半径的直线是圆的切线。,切线的性质定理:,圆的切线垂直于,过切点的半,径,切线的性质：,1.,切线和圆只有一个公共点。,2.,切线和圆心的距离等于半径。,3.,切线垂直于过切点的半径。,4.,经过圆心垂直于切线的直线必过切点。,5.,经过切点垂直于切线的直线必过圆心,6.,经过切点的直径与切线垂直,(1),过圆心；,(2),过切点；,(3),垂直于切线,知二求一,复习与回顾,切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这切线的性质定理:圆的,证明切线常见辅助线：,(1),如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和,圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。,简记为：,连半径,证垂直,。,(2),如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等,于半径长。简记为：,作垂直,证半径,。,证明切线常见辅助线：,过已知点作圆的切线,1.,如何过O上一点P画出O的切线,探究新知,画一画,.,P,.,O,作法,：（,1,）连结,OP,（,2,）过点,P,作,l,OP,则,l,就是所求作的直线,l,过已知点作圆的切线1.如何过O上一点P画出O的切线探究新,50,（,1）如何过O外一点P画出O的切线？,.,这样的切线能画出几条？,.,借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。,.,如果,P=50,求,AOB,的度数,130,2.,过圆外一点作圆的切线,50（1）如何过O外一点P画出O的切线？.这样的,O,。,A,B,P,思考,：已画出切线PA、PB，A、B为切点,，,OAP=,90,连接OP，可知A、B 除了在O上，还在怎样的圆上?,（,2,）如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？,O。ABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，OA,作法：,1.,连结,OP,2.,以,OP,为直径作,O,，,与,O,交于,A,、,B,两点。,即直线,PA,、,PB,为,O,的切线。,如图，已知,O,外一点,P,，你能用尺规过点,P,作,O,的切线吗？,o,o,p,A,B,想一想为什么？,作法：1.连结OP2.以OP为直径作O，即直线PA、PB,经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做,这点到圆的切线长,切线,与,切线长,是一回事吗？,O,P,A,B,它们有什么区别与联系呢？,切线长的概念,经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这,A,思考,：,已知,O,切线,PA,、,PB,，,A,、,B,为切点，把圆沿着直线,OP,对折,你能发现什么,?,O,B,P,1,2,折一折,A思考：已知O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线O,切线和切线长是两个不同的概念：,1,、切线是一条与圆相切的直线，,不能度量,；,2,、切线长是,线段,的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,，,可以度量。,O,P,A,B,比一比,切线和切线长,OPAB比一比切线和切线长,请证明你所发现的结论,证明：,PA，PB与O相切，,点A，B是切点,OAPA，OBPB,即OAP=OBP=90,OA=OB，OP=OP,RtAOPRtBOP(HL),PA=PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,A,P,O,B,证一证,PA=PB,OPA=OPB,请证明你所发现的结论证明：PA，PB与O相切，试用文字语,PA、PB分别切O于A、B,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言,:,反思,：切线长定理为证明,线段相等、角相等,提供新的方法,O,P,A,B,切线长定理,PA=PB,OPA=OPB,PA、PB分别切O于A、B从圆外一点引圆的两条切线，它,如图，若连接,AB,，则,OP,与,AB,有什么关系？,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点,PA,PB,，,APO,BPO,OPAB,，且,OP,平分,AB,o,p,A,B,C,D,切线长定理推论：,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,AD,与,BD,相等吗？,进一步探究,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？PA、PB是,o,p,A,B,C,D,切线长定理的几何模型中的,重要关系,（,7,）,OPA,OPB,APC,BPC,ACO,BCO,APD,BPD,ACD,BCD,（,1,）,PA=PB.APO=BPO,（,2,）,OAPA,OBPB,（,3,）连接,AB,则直线,OP,垂直平分,AB,（,4,）连接,AD,BD,则,AD=BD,AD=BD,（,5,）,AD,平分,PAB,BD,平分,PBA,点,D,为,PAB,的内心,（,6,）,OPA,OPB,APC,BPC,ACO,BCO,都是,Rt,opABCD切线长定理的几何模型中的（7）OPA,我们学过的切线，常有 五个 性质：,1,、切线和圆只有一个公共点；,2,、切线和圆心的距离等于圆的半径；,3,、切线垂直于过切点的半径；,4,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6,、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,六个,我们学过的切线，常有 五个 性质：6、从圆外一点引圆的两,如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,A,B,C,A,B,C,M,D,N,I,与三角形各边都相切的圆叫做,三角形的内切圆；,三角形内切圆的圆心叫做,三角形的内心,是三角形三条角平分线的交点,；,这个三角形叫做,圆的外切三角形。,思考,结论,如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料,三角形的内切圆可以作出几个,?,为什么,?.,角平分线,BE,和,CF,只有一个交点,I,并且点,I,到,ABC,三边的距离相等,(,为什么,?),因此和,ABC,三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,.,A,B,C,I,E,F,已知,A=80,，则,BIC=,.,130,BIC=90+A,三角形的内切圆可以作出几个?为什么?.角平分线BE和CF只,1.,一个三角形有且只有一个内切圆；,2.,一个圆有无数个外切三角形；,3.,三角形的内心就是三角形三条内角平,分线的交点；,4.,三角形的内心到三角形三边的距离相等。,注意,1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角,作三角形内切圆的方法：,A,B,C,1.,作,B,、,C,的平分线,BM,和,CN,，交点为,I,。,I,2,过点,I,作,IDBC,，垂足为,D,。,3,以,I,为圆心，,ID,为半径作,I.,I,就是所求的圆。,D,M,N,作三角形内切圆的方法：ABC1.作B、C的平分线BM和,o,外接圆圆心：,三角形三边垂直平分线的交点,。,外接圆的半径：,交点到三角形任意一个顶点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,o,内切圆圆心：,三角形三个内角平分线的交点。,内切圆的半径：,交点到三,角形任意一边的距离。,A,A,B,B,C,C,提示,:,多边形的边与,圆,的位置关系称为,切,.,多边形的顶点与,圆,的位置关系称为,接,.,o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。三角形外接圆三角,O,A,C,D,B,图（,1,）,图（,2,）,说出下列图形中四边形与圆的位置关系,.,四边形,ABCD,叫做,O,的,外切四边形,四边形,ABCD,叫做,O,的,内接四边形,根据切线长定理猜想,圆的外切四边形的两组对边有什,么关系？说明你的结论的正确性,.,O,A,B,C,D,L,M,N,P,补充结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等,OACDB图（1）图（2）说出下列图形中四边形与圆的位置关系,B,D,E,F,O,C,A,如图，,ABC,的内切圆的半径为,r,ABC,的周长为,l,求,ABC,的面积,S.,解：,设,ABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，,连结,OA,、,OB,、,OC,、,OD,、,OE,、,OF,，,则,ODAB,，,OEBC,，,OFAC,.,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,ABOD,BCOE,ACOF,l,r,设,ABC,的三边为,a,、,b,、,c,，面积为,S,，,则,S,ABC,=(a+b+c)r,结论,三角形的内切圆的有关计算,BDEFOCA如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC,如图，,RtABC,中，,C,90,BC,a,AC,b,AB,c,O,为,RtABC,的内切圆,.,求：,RtABC,的内切圆的半径,r.,设,CE,r,则,AD=b-r,BE=a-r,O,与,RtABC,的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,解：,设,RtABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，连结,OD,、,OE,、,OF,则,OAAC,，,OEBC,，,OFAB,。,A,B,C,E,D,F,O,解得,r,a,b,c,2,结论,设,RtABC,的直角边为,a,、,b,，斜边为,c,，则,RtABC,的内切圆的半径,r,a,b,c,2,则有,c=(b-r)+(a-r),如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,C,B,A,I,D,E,F,A,B,C,E,D,F,I,特别地，如图，,RtABC,中，,C,90,BC,a,AC,b,AB,c,I,为,RtABC,的,内切圆,.RtABC,的内切圆,的半径,r=,（,a+b-c),如图，,ABC,的内切圆,I,切,ABC,三边,AB,BC,AC,分别于点,D,E,F,，设,BC=a,AC=b,AB=c,则,AD=AF=(b+c-a),BD=BE=(a+c-b),CE=CF=(a+b-c),CBAIDEF ABCEDFI特别地，如图，Rt,应用新知,1,、判断,（,1,）过一点可以做圆的两条切线（）,（,2,）切线长就是切线的长。（）,2,、已知,PA,、,PB,与,O,相切,于点,A,、,B,，,O,的半径为,2,（,1,）若四边形,OAPB,的周,长为,10,，则,PA=,。,（,2,）若,APB=60,，,则,PA=,。,O,P,A,B,3,2,2,30,4,应用新知1、判断OPAB322304,基础题：,1.,既有外接圆,又内切圆的平行四边形是,_.,2.,直角三角形的外接圆半径为,5cm,内切圆半径为,1cm,则此三角形的周长是,_,_.,3.O,是边长为,2cm,的正方形,ABCD,的内切圆,EF,切,O,于,P,点，交,AB,、,BC,于,E,、,F,，则,BEF,的周长是,_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2c,m,基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.,A,B,C,D,E,O,2,1,例,1,如图，已知：在,ABC,中，,B,90,，,O,是,AB,上一点，以,O,为圆心，,OB,为半径的圆交,AB,于点,E,，与,AC,相切于点,D,。求证：,DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,C,是的切线，是切点,，,是的直径,，即,ABCDEO21例1如图，已知：在ABC中，B90,A,B,C,E,D,F,O,如图，,RtABC,中，,C,90,BC,3,AC,4,O,为,RtABC,的内切圆,.,（,1,）求,RtABC,的内切圆的半径,.,（,2,）若移动点,O,的位置，使,O,保持与,ABC,的边,AC,、,BC,都相切，求,O,的半径,r,的取值范围。,设,AD=x,BE=y,CE,r,O,与,RtABC,的三边
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