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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,18.1,勾股定理,18.1 勾股定理,史话,勾股定理,勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多,领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学,家、知名人士对此都有过研究，至今已有,500,多种证明方法。,国内：,公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三,股四弦五”，在,周髀算经,中有所记载。,公元,3,世纪三国时代的赵爽对,周髀算经,内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅,“,勾股圆方图,”,，把勾股定理叙述成：勾股各,自乘，并之为弦实，开方除之即弦。,史话勾股定理 勾股定理是一个基本的几何定理，它在,国外：,公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯,(P,ythagoras,),证明了勾股定理，因而西方人都,习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。,公元前,4,世纪，希腊数学家欧几里得在巨著,几何原本,（第,卷，命题,47,）中给出一个,很好的证明。,1876,年,4,月,1,日，加菲乐德在,新英格兰教育,日志,上发表了他对勾股定理的一个证法。,国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯 公元前4世,在行距、列距都是,1,的方格网中，任意作出几个,以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的,各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，,并以,S,1,，,S,2,与,S,3,分别表示几个正方形的面积,探究：,在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个探究：,a,b,c,abc,观察图,(,1,),，并填写：,S,1,个单位面积；,S,2,个单位面积；,S,3,个单位面积,观察图,(,2,),，并填写：,S,1,个单位面积；,S,2,个单位面积；,S,3,个单位面积,图,(,1,),，,(,2,),中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：,9,18,9,9,16,25,a,2,+,b,2,=,c,2,a,b,c,观察图(1)，并填写：918991625a2+b2=c2ab,新知导入,定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方,.,如果,直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,，斜边长为,c,那么,a,2,+b,2,=c,2,.,由上面的例子，我们猜想：,a,b,c,勾股定理,新知导入定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方.,结论：,直角三角形两条直角边的平方和等于斜,边的平方,.,说一说：,我国古代把直角三角形,中较短的直角边称为,勾,，较长的,直角边称为,股,，斜边称为,弦,，因,此，我们称上述定理为,勾股定理,国外称之为毕达哥拉斯定理,（,Pythagoras theorem,）,如果直角三角形的两直角边用,a,，,b,表示，斜边用,C,表示，那么勾股定理可表示为：,a,2,+,b,2,c,2,结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜说一说：我国古代把直,下面动图形象的说明的正确性，让我们跟着以前的数学家们用,拼图法,来证明这一猜想,.,新知导入,下面动图形象的说明的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法,证,明：,请,先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧,.,a,b,c,用面积的计算来证明勾股定理,证明：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后,想一想：,我们怎样用面积计算的方法来证,明勾股定理呢？,已知：如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,AB,c,，,BC,a,，,AC,b,，,求证：,a,2,+,b,2,c,2,.,c,c,c,c,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,c,A,C,B,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,G,H,想一想：我们怎样用面积计算的方法来证 已知：如,证明：由拼图可知：大正方形的边长为,(,a,+,b,),小正方形的边长为,c,，,大,正方形,EFGH,的面积减去,4,个,ABC,的面,积等于,中间的小,正方形,A,1,B,1,C,1,D,1,的面积,.,化简，得：,a,2,+,b,2,c,2,证明：由拼图可知：大正方形的边长为(a+b),大正方形E,a,a,b,b,c,c,a,2,+,b,2,=,c,2,.,证,法,2,：,美国第二十任总统伽菲尔德的,“,总统证法,”.,如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：,a,2,+,b,2,=,c,2,.,aabbcca2+b2=c2.证法2：美国第,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理,.,a,、,b,、,c,为正数,如果,直角三角形,的两直角边长分别为,a,b,斜边长为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,公式变形：,勾股定理,a,b,c,归纳总结,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a,例,1,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90.,（,1,）若,a,=,b,=5,求,c,;,（,2,）若,a,=1,c,=2,求,b,.,解：,(1),据勾股定理得,(2),据勾股定理得,利用勾股定理进行计算,二,C,A,B,完成课本练习,1,例1 如图，在RtABC中，C=90.,1,.,求下列图中字母所表示的正方形的面积,.,练一练,225,400,A,225,81,B,625,144,1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.练一练225400A,2.,在,ABC,中，,C,90,，,AB,c,，,BC,a,，,AC,b,.,（,1,）,a,6,，,b,8,，求,c,；,（,2,）,a,8,，,c,17,，求,b,.,解,：（,1,）,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,a,2,+,b,2,c,2,，,2.在ABC中，C90，ABc，BCa，（1）a,（,2,）,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,a,2,+,b,2,c,2,，,在用勾股定理时，需要知道直角三角形,中的,两条边长,，才能求,出第三边长,.,想一想：,（2）在RtABC中，C90，a2+b2c2,3.,ABC,中，,AB,=10,，,AC,=17,，,BC,边上的高线,AD,=8,，求线段,BC,的长,解：本题分两种情况讨论：,（,1,）如图,1,，当,AD,在,ABC,内时，,在,Rt,ABD,中，,10,17,A,B,C,D,图,1,8,BD,2,+,AD,2,AB,2,在,Rt,ADC,中，,3.ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线解：,DC,2,+,AD,2,AC,2,BC,=,BD,+,DC,6+15,21,；,（,2,）如图,2,，当,AD,在,ABC,外时,，,由（,1,）知：,BD,6,，,DC,15,，,BC,=,BD,DC,15,6,9,，,综合上述，,BC,的长为,9,或,21.,A,B,C,8,D,17,10,图,2,DC2+AD2AC2BC=BD+DC6+1521；（,(,2,),勾股定理及证明方法；,小结与反思,(,1,),勾股定理的由来,；,1,.,本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流,.,2,.,通过本节课的学习你有哪些收获和经验？,谈谈你的感悟,.,(,3,),勾股定理的简单应用,.,(2)勾股定理及证明方法；小结与反思(1)勾股定理的由来；1,布置作业,课本第,57,页：习题,18.1,第,1,3,题,.,再见！,布置作业课本第57页：习题18.1第13题.再见！,
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