数字信号处理技术(精品)

,燕山大学机械学院,6.5 DFT,与,FFT,第六章、数字信号处理技术,1,、离散傅立叶变换,离散傅里叶变换（,Discrete Fourier Transform,）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。,x(t,),截断、周期延拓,x,T,(t,),周期信号,x,T,(t,),的傅里叶变换：,对周期信号,x,T,(t,),采样，将离散序列,x,T,(n,),将积分转为集合：,傅里叶变换公式,按上式，用计算机编程很容易计算出指定频率点的值：,f=,？,/,计算的频率点,Fs=5120,N=1024,dt,=1.0/Fs,pi=3.1415926,XR=0,XI=0,For n=0 To N-1,XR=,XR+x(n,)*cos(2*pi*f*n*,dt,)*,dt,XI=,XI+x(n,)*sin(2*pi*f*n*,dt,)*,dt,Next,A=,sqr(XR,*XR+XI*XI),Q=,atn(XI,/XR),VBScript,样例,6.5 DFT,与,FFT,展开，得连续傅立叶变换计算公式：,6.5 DFT,与,FFT,连续傅立叶变换编程计算实验：,采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，,X(f,),只能离散取值，频率取样间隔定义为：,f,=,fs,/N,频率取样点为,0,f,2f,3f,.,，有：,该公式就是离散傅立叶计算公式,(DFT),6.5 DFT,与,FFT,6.5 DFT,与,FFT,2,、快速傅立叶变换,快速傅立叶变换,(FFT),是实施离散傅立叶变换的一种有效的算法，通过仔细选择和重新排列中间结果，在速度上较之离散傅立叶变换有明显的优点。,展开各点的,DFT,计算公式：,XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N).,XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2/N).,其中有大量重复的,cos,、,sin,项的计算，,FFT,的作用就是用技巧减少,cos,、,sin,项的重复计算。,当采样点数为,1024,点,DFT,要求一百万次以上计算量，而,FFT,则只要求,10240,次。,6.6,栅栏效应与窗函数,第六章、数字信号处理技术,1,、栅栏效应,采样信号的频谱，为提高计算效率,通常采用,FFT,算法进行计算，设数据点数为：,N=T/,dt,=T.,f,s,则计算得到的离散频率点为,:,Xs(f,i,),，,f,i,=,i.f,s,/N,i=0,，,1,，,2,，,.,，,N/2,这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，此种现象被称为栅栏效应。,如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。,6.5 DFT,与,FFT,栅栏效应误差实验：,6.6,栅栏效应与窗函数,2,能量泄漏与栅栏效应的关系,频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。,例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。,实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。,从这个意义上来说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号时域截断产生的能量泄漏误差，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。,6.6,栅栏效应与窗函数,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,6.6,栅栏效应与窗函数,3,常用的窗函数,1,）矩形窗,2,）三角窗,6.6,栅栏效应与窗函数,3,）汉宁窗,常用窗函数,6.5 DFT,与,FFT,窗函数在减小栅栏效应误差中的作用实验：,6.5 DFT,与,FFT,总结：,信号截断,能量泄漏,FFT,栅栏效应,从克服栅栏效应误差的角度看，能量泄漏是有利的。,6.5 DFT,与,FFT,通过加窗加大能量泄漏，减小栅栏效应误差：,加矩形窗,加,BlackMan,窗,6.6,栅栏效应与窗函数,动手做：,设计一个离散傅立叶计算程序，计算方波的频谱。观察,栅栏效应带来的计算误差,。,6.6,栅栏效应与窗函数,思考题：,1.A/D,，,D/A,转换器的主要技术指标有那些？,2.,信号量化误差与,A/D,，,D/A,转换器位数的关系？,3.,采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算,混迭频率？,4.A/D,采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？,5.,数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生,能量泄漏？,6.,用,FFT,计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差？,7.,窗函数的作用是什麽？,移位寄存器输出,D/A,转换结果,比较去留,本步输出,10000000,5,1,10000000,11000000,5+2.5,0,10000000,10100000,5+1.25,1,10100000,移位寄存器,输出,D/A,转换结果,比较去留,本步运算结果,本步输出,10000000,56.6,去掉,0,10000000,10100000,5+1.25=6.256.6,去掉,0,10100000,10101000,5+1.25+0.3125=6.56256.6,去掉,0,10101000,10101010,5+1.25+0.3125+0.078=6.64066.6,去掉,0,10101000,10101001,5+1.25+0.3125+0.039=6.60156.6,去掉,0,10101000,