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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.1合情推理与演绎推理,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,.,2.1合情推理与演绎推理 推理是人们思维活动的,1,人教A版高中数学-选修1-2-第二章-2,2,新课导入,铜、铁、铝、金、银等都能导电,.,一切金属都能导电,.,从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体做出推断，是,归纳推理,.,新课导入铜、铁、铝、金、银等都能导电.一切金属都能导电.,3,类比推理,带齿的草叶、蝗虫的牙齿,锯,鱼的外形、沉浮原理,潜水艇,仿生学,类比推理带齿的草叶、蝗虫的牙齿锯鱼的外形、沉浮原理潜水艇仿生,4,合情推理是指“合乎情理”的推理,.,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,.,合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得,5,2.1.1合情推理,2.1.1合情推理,6,教学目标,【,知识与能力】,了解合情推理的含义,.,能用归纳和类比进行推理，做出猜想,.,教学目标 【知识与能力】了解合情推理的含义.,7,【,过程与方法】,结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用,【过程与方法】结合已学过的数学实例和生活,8,【,情感态度与价值观】,合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用,.,【情感态度与价值观】合情推理具有猜测和,9,教学重难点,重点,了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理,.,难点,用归纳和类比进行推理，做出猜想,.,教学重难点重点 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行,10,门捷列夫发现元素周期律,歌德巴赫猜想,归纳推理,猜想,四色猜想,牛顿发现万有引力,哥尼斯堡七桥猜想,这些猜想是怎么得出的呢？,门捷列夫发现元素周期律歌德巴赫猜想归纳推理猜想四色猜想牛,11,观察,下列等式,3+7=10,，,3+17=20,，,13+17=30,，,归纳出,一个规律：,偶数,=,奇质数,+,奇质数,通过更多,特例的检验,从,6,开始,没有出现反例,.,大胆猜想,任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数的和,.,10=3+7,，,20=3+17,，,30=13+17.,陈氏定理,歌德巴赫猜想,观察下列等式归纳出一个规律：通过更多特例的检验,从6,12,每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域上着不同色,.,四色猜想,1852,年，英国人弗南西斯,格思里为地图着色时，发现了四色猜想,.,每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻,13,猜想：,费马猜想,后来人们发现,都是合数,.,都是质数,猜想：费马猜想后来人们发现 都是合数.都是质数,14,已知数列 的第一项 （）试归纳出这个数列的通项公式,.,例,1,由某类事物的部分对象具有某些这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为,归纳推理,.,已知数列 的第一项 （,15,分析：数列的通项公式表示的是数列 的第,n,项 与序号,n,之间的对应关系,.,为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项,.,解：当,n=1,时，,当,n=2,时，,当,n=3,时，,分析：数列的通项公式表示的是数列 的第n项,16,当,n=4,时，,观察可得，,数列的前,4,项都等于相应序号的倒数,.,由此猜想，这个数列的通项公式为,我们通过,归纳,得到了关于数列通项公式的一个猜想,.,当n=4时，观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此,17,类比推理,火星上是否有生命,火星,地球,围绕太阳运行；,绕轴自转；,有大气层；,一年中有四季,变更；,温度适合地球,上某些,生物的生存；,对比两者某些相似特征,.,火星也可能有生命的存在,类比推理火星上是否有生命火星地球围绕太阳运行；对比两者某,18,试着类比球体和圆,圆的概念和性质,圆的周长,圆的面积,圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦,.,与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长,以点,(a,b),为圆心，,r,为半径的圆的方程为,球的表面积,球的体积,球心与截面圆（非过球心截面圆）圆心连线垂直于截面圆,与球心距离相等的两截面圆面积相等；与球心距离不等的两截面圆面积不等，距圆心较近的截面圆面积较大,.,以点,(a,b,c),为球心，,r,为半径的球的方程为,球的类比概念和性质,试着类比球体和圆圆的概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直,19,“,类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题,.”,数学家波利亚,“,我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密,.”,开普勒,“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于,20,例,2,类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质,.,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为,类比推理,.,例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.,21,分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“,0”,和“,1”,分别在加法和乘法中占有特殊的地位,.,因此我们可以从上述,4,个方面来类比这两种运算,.,分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算,22,(2),从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即,解,:(1),两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数,.,(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即,23,从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程,都有唯一解,.,从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算,24,(4),在加法中，任意实数与,0,相加都不改变大小；乘法中的,1,与加法中的,0,类似，即任意实数与,1,的积都等于原来的数,.,即,你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？,(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加,25,例,3,类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,.,分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有,3,个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类对比对象,.,例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面,26,如图，与 相对应的，是四面体,P-DEF,的,3,个面在一个顶点处构成,3,个直二面角；与 的直角边边长,a,b,相对应的，是四面体,P-DEF,的面 ，和 面积,;,与 的斜边边长,c,相对应的，是四面体,P-DEF,的面 的面积,S.,如图，与 相对应的，是四,27,(1),(2),由此，我们可以类比 中的勾股定理，猜想出四面体,P-DEF,四个面的面积之间的关系,.,(1)(2)由此，我们可以类比,28,解：如图,.,我们知道，在 中,.,由勾股定理，得,于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体,P-DEF,中，我们猜想,推理过程概括,：,从具体,问题出发,观察、分析,比较、联想,归纳、类比,提出猜想,解：如图.我们知道，在,29,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为,合情推理,.,例,4,如图，有三跟针和套在一根针上的若干金属片,.,按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析,30,1.,每次只能移动,1,个金属片；,2.,较大的金属片不能放在较小的金属片上面,.,试推测：把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针，最少需要移动多少次？,1,3,2,1.每次只能移动1个金属片；132,31,分析：我们从移动,1,，,2,，,3,，,4,个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动,n,个金属片所需的次数,.,解：,当,n=1,时，只需把金属片从,1,号针移到,3,号针,.,把第,1,个金属片从,1,号针移动到,2,号针；,把第,2,个金属片从,1,号针移动到,3,号针；,把第,1,个金属片从,2,号针移动到,3,号针,.,移,动,1,次,移动,3,次,当,n=2,时，利用,2,号针做“中间针”移动：,分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手,32,当,n=3,时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为,n=2,的情形移动：,把上面两个金属片从,1,号针移动到,2,号针；,把第,3,个金属片从,1,号针移动到,3,号针；,把上面两个金属片从,2,号针移动到,3,号针,.,当,n=4,时，把上面,3,个金属片作为一个整体移动：,把上面,3,个金属片从,1,号针移动到,2,号针；,把第,4,个金属片从,1,号针移动到,3,号针；,把上面,3,个金属片从,2,号针移动到,3,号针,.,移动,7,次,移动,15,次,当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形,33,至此，我们得到依次移动,1,，,2,，,3,，,4,个金属片所需的次数构成的数列：,1,3,7,15,由此我们猜想：,若把,n,个金属片从,1,号针移动到,3,号针，最少需要移动 次，则数列 的通项公式为,观察发现有如下规律：,至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需的次数构成的,34,探究：,把,n,个金属片从,1,号针移动,到,3,号针，怎样移动才能达到,最少的移动次数呢？,归纳：,对,n,个金属片都适用的移动方法,.,当移动,n,个金属片时，可分为以下,3,个步骤：,探究：把n个金属片从1号针移动归纳：对n个,35,把上面（,n-1,）个金属片从,1,号针移动到,2,号针；,把第,n,个金属片从,1,号针移动到,3,号针；,把上面（,n-1,）个金属片从,2,号针移动到,3,号针,.,那第（,n-1,）个金属片如何移动呢？,把上面（,n-2,）个金属片从,1,号针移动到,2,号针；,把第（,n-1,）个金属片从,1,号针移动到,3,号针；,把上面（,n-2,）个金属片从,2,号针移动到,3,号针,.,类比推理,把上面（n-1）个金属片从1号针移动到2号针；那第（n-1）,36,得到递推公式：,这是我们根据,n=1,2,3,4,时的移动方法，归纳推理出来,.,得到递推公式：这是我们根据n=1,2,3,37,合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提条件,合情推理是冒险的、有争议的和暂时的,.,波利亚,在合情推理中，灵感也是一种重要的思维形式,合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提,38,课堂小结,由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为,归纳推理,.,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为,类比推理,.,课堂小结由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物全部对象,39,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为,合情推理,.,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察,40,随堂练习,1.,设,求证：,2.,如图，在,ABC,中，,AC BC,CD,是,AB,上的高，求证：,ACD BCD.,指出上面证明过程中的错误,.,A,C,D,B,证明：在,ABC,中，因为,CDAB,，,AC,BC,所以,ADBD,于是,ACD,BCD.,随堂练习1.设求证：2.如图，在ABC 中，AC BC,41,练习答案,1.,证明：,当且仅当,a=b,时等号成立,.,所以，,练习答案1.证明：当且仅当 a=b 时等号成立.所以，,42,2.,根据,AD
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