线性系统的稳定性与稳定判据课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3-,5 线性系统的稳定性与稳定判据,一稳定的概念与定义,定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。,二线性系统稳定的充要条件,稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。,3-5 线性系统的稳定性与稳定判据一稳定的概念与定义,1,线性系统稳定的,充要条件,：,闭环系统特征方程度所有根均具有负实部，,或其特征根全部位于s平面的左半部。,线性系统稳定的充要条件：,2,线性系统的稳定性与稳定判据课件,3,三稳定判据,1.Routh稳定判据,系统的特征方程为,必要条件:,（1）特征方程的各项系数a,i,(i=1,2,n)都不为零；,（2）特征方程的各项系数a,i,(i=1,2,n)具有相同 的符号。,充分条件,：,劳斯阵列第一列所有元素为正。,三稳定判据必要条件:充分条件：,4,劳斯阵列,劳斯阵列,5,2.,Routh,判据的特殊情况,（几点说明）,、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。,2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改变的次数。,3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有限小的正数来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察第一列数值，当0时，含项的符号与上、下行符号进行比较，若系数符号相反，就说明有符号改变。,4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵的计算方法写出以下各行。,2.Routh判据的特殊情况（几点说明）、为简化计算，,6,符号改变一次,符号改变一次,符号改变一次符号改变一次,7,a.某行第一个元素为零，其余均不为零。,例：,设系统特征方程为 ，试判别,系统的稳定性。,解：,（1）特征方程各项系数大于0；,（2）列劳斯阵,当0时，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根位于复平面右侧。,a.某行第一个元素为零，其余均不为零。例：设系统特征方程为,8,改变一次,改变一次,改变一次改变一次,9,b.劳斯表某行全为零,说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。,例：,设系统特征方程为 ，,试判别系统的稳定性。,解：（1）特征方程各项系数大于0；,（2）列劳斯阵,劳斯阵中 s,3,行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s,4,行)的各项组成辅助方程为,将辅助方程对 s 求导数，得导数方程,b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相,10,用导数方程的系数取代,s,3,行中为零的项，为简化计,算，各项除以8，并计算以,下各行的系数，得劳斯阵为,新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方程求出。,令,解得虚根为,用导数方程的系数取代令,11,线性系统的稳定性与稳定判据课件,12,线性系统的稳定性与稳定判据课件,13,解,：,系统特征方程为,为使系统稳定，必须：,（1）特征方程各项系数大于0，即要求K0；,（2）列劳斯阵,第一列各项系数应大于零，于是有 6K0，即K6。,为使系统稳定，K的取值范围应为0K6，临界开环增益为Kp6。,例1,：,已知控制系统的闭环传递函数为 ，,试确定系统的临界开环增益。,3.Routh判据的应用,解：系统特征方程为例1：已知控制系统的闭环传递函数为,14,C(s),R(s),-,C(s)R(s)-,15,线性系统的稳定性与稳定判据课件,16,4.Hurwitz判据,设系统的特征方程为：,则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数a,i,(i=1,2,n),构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即,4.Hurwitz判据设系统的特征方程为：则系统稳定的充要条,17,线性系统的稳定性与稳定判据课件,18,