向量组的线性相关性课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 向量组的线性相关性,二、关于线性组合与线性相关,的定理,一、线性相关与线性无关,三、小结、思考题,第三节 向量组的线性相关性二、关于线性组合与线性相关一、线,1,的向量形式为,当且仅当,时,关系式,成立,存在一组,不全为零,的数,使得关系式,成立,向,量,组,的,关,系,由上节内容知道，齐次线性方程组,因此，齐次线性方程组,只有零解,齐次线性方程组有,非零解,的向量形式为当且仅当时关系式成立存在一组不全为零的数使得关系,2,一、线性相关与线性无关,成立,定义,3.7,一、线性相关与线性无关成立定义3.7,3,注意,3.,包含零向量的任何向量组是线性相关的,.,线性相关，,若,则说,线性无关,.,4.,对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例,几何意义是两向量共线,;,三个向量线性相关的几何意义是三向量共面,.,对于任一向量组而言,不是线性无关的,就是线性相关的,.,2,.,向量组只包含一个向量,时，,则说,2,.,向量组只包含一个向量,时，,则说,2,.,向量组只包含一个向量,时，,则说,2,.,向量组只包含一个向量,时，,若,则说,2,.,向量组只包含一个向量,时，,注意3.包含零向量的任何向量组是线性相关的.线性相关，若则,4,由,定义,3.7,可知,有非零解,定理,3.5,列,向量组,a,1,a,2,a,m,线性相关,的充分必要条件是它所构成的矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩,r,(,A,),m,(,小于向量个数,);,向量组,线性无关,的充分必要条件是,r,(,A,)=,m,.,由定义3.7可知有非零解定理3.5 列向量组a1,a2,5,推论,1,（线性无关）,推论,2,当向量组中所含向量的个数,m,大于向量的,维数,n,时，此向量组,线性相关,线性相关,推论1（线性无关）推论2当向量组中所含向量的个数m大于向量的,6,例,1,解法一,例1解法一,7,解法二较解法一简单,解法二较解法一简单,8,解法二,解法二,9,证明,利用推论,1,例,2,证明利用推论1例2,10,证,法一：利用定义,例,3,已知向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,试证向量组,设有,k,1,k,2,k,3,使,k,1,b,1,+,k,2,b,2,+,k,3,b,3,=0,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解,k,1,=,k,2,=,k,3,=0,由此知,b,1,b,2,b,3,线性无关,.,因,向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,所以,线性无关,.,亦即,即,证法一：利用定义 例3 已知向量组a1,a2,a3线性,11,法二：齐次方程,记为,B,=,AK,并代入,3,元齐次线性方程组,Bx,=0,得,讨论,b,1,b,2,b,3,线性相关性，,只需讨论齐次方程,B,x,=0,的解的状况,.,将,表示为矩阵等式,A,K,即,法二：齐次方程记为B=AK,并代入3元齐次线性方程组Bx=,12,由于,a,1,a,2,a,3,线性无关,即,R,(,A,)=3,从而,Kx,=0,又因为,|,K,|=,2,0,知,齐次方程组,Kx,=0,只有零解,.,因此,齐次方程组,Bx,=0,只有零解,.,故,R,(,B,)=3.,因此由定理,3.5,得,向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关,.,由于a1,a2,a3线性无关,即R(A)=3,从而Kx=,13,法三：矩阵的秩,由,证二得,B,=,AK,因为,|,K,|=,2,0,知,K,可逆,由矩阵秩的性质得,:,R,(,B,)=,R,(,AK,)=,R,(,A,)=3,因此由定理,3.5,得,向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关,.,证明抽象向量组线性无关的方法,.,一是依据定义的证明方法,即向量组的线性,组合为零的组合系数只能都为零,;,二是利用定理,3.5,证明向量组构成的矩阵的秩,等于向量组向量的个数,法三：矩阵的秩由证二得B=AK,因为|K|=2,14,三仍是利用定理,3.5,但过程利用了矩阵秩的性质,.,（小组相关，则大组相关）,（大组无关，则小组无关）,证明,证明,（见课本定理,3.6,）,三仍是利用定理3.5,但过程利用了矩阵秩的性质.（小组相关,15,例,4,解,t,取何值时下列向量组线性相关,t=2,或,t=-1,时,线性相关,例4解t取何值时下列向量组线性相关t=2或t=-1时线性相关,16,定理,3.7,证明,于是,二、关于线性组合与线性相关的定理,必要性,定理3.7证明于是二、关于线性组合与线性相关的定理必要性,17,证毕,注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系,定义,若向量组,A,是向量组,B,的一部分，则称,A,组是,B,组的部分组,.,的线性组合，,证毕注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系定义 若向,18,定理,3.8,证明,这时,定理3.8证明这时,19,例如，,任意,n,维向量,可由初始单位向量组,唯一的线性表示,证毕,例如，任意n维向量可由初始单位向量组唯一的线性表示 证毕,20,向量组的线性表示,设有向量组,如果向量组,A,中每一个向量都可由组,B,线性表示，,则,称向量组,A,可由向量组,B,线性表示,.,定理,3.9,（大组被小组表示，则大组相关）,向量组的线性表示设有向量组如果向量组A中每一个向量都可由组B,21,证明,：,只需证明,不全为零,设,（,1,）,由已知,（,2,）,将（,2,）代入（,1,）得,（,3,）,证明：只需证明不全为零设（1）由已知（2）将（2）代入（1）,22,整理为,令,因为,st,故该齐次线性方程组有非零解,（,4,）,整理为令因为st,故该齐次线性方程组有非零解（4）,23,从而使,（,4,）,成立,，（,3,）,也成立，,(1),必成立，,故向量组（,B,）线性相关,即存在不全为零的,使方程组成立,推论,证毕,定理,3.9,又可叙述为：若,B,可由,A,线性表示，且,B,线性无关，则,从而使（4）成立，（3）也成立，(1)必成立，故向量组（B）,24,证,(2),反证法,与题设矛盾,.,例,5,向量组,线性无关，证明：,已知向量组,线性相关，,大组无关，则小组无关,定理,3.8,证(2)反证法与题设矛盾.例5向量组线性无关，证明：已知向量,25,1.,线性相关与线性无关的概念,3.,线性相关与线性无关的判定,三、小结,2.,线性相关性在线性方程组中的应用,3.,线性相关与线性无关的判定,总结各种充要条件,1.线性相关与线性无关的概念3.线性相关与线性无关的判定,26,思考题,下列命题是否正确？,思考题下列命题是否正确？,27,向量组的线性相关性课件,28,向量组的线性相关性课件,29,P160,10.,（,1,）,11.,（,2,）,12.13.14.15,作业,P160作业,30,证明,证毕,证明证毕,31,证毕,证毕,32,向量组线性相关性的判定（重点、难点）,向量组,A,：,a,1,a,2,a,m,线性相关,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2,k,m,，使得,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,m,a,m,=0,（零向量）,m,元齐次线性方程组,Ax,=0,有非零解,矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩小于向量的个数,m,向量组,A,中至少有一个向量能由其余,m,1,个向量线性表示,向量组线性无关性的判定（重点、难点）,向量组,A,：,a,1,a,2,a,m,线性无关,如果,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,m,a,m,=0,（零向量），则必有,k,1,=,k,2,=,k,m,=0,m,元齐次线性方程组,Ax,=0,只,有零解,矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩等于向量的个数,m,向量组,A,中任何一个向量都不能由其余,m,1,个向量线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（,33,向量组线性相关性的判定（重点、难点）,向量组,A,：,a,1,a,2,a,m,线性相关,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2,k,m,，使得,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,m,a,m,=0,（零向量）,m,元齐次线性方程组,Ax,=0,有非零解,矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩小于向量的个数,m,向量组,A,中至少有一个向量能由其余,m,1,个向量线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点）,34,