第13次行列式及其性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 行列式及其性质,1.3.1,行列式的定义,1.3.2,行列式的性质,1.3.3,行列式的计算,1.3.1,行列式的定义,二阶行列式与三阶行列式,二阶行列式,定义,a,b,c,d,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,根据定义算一算,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,二阶行列式在解二元一次方程组的应用,三 阶行列式,的定义,对角线法则,根据定义算一算,练一练,计算,n,阶行列式定义,设方阵,则称行列式,为,A,所对应的行列式，或,A,的行列式,记作,称,n,为行列式,D,的阶数。,余子式：元素 的余子式记为,元素,5,的余子式,元素,0,的余子式,1.3.2,行列式的性质,代数余子式,元素,5,的代数余子式,=,？,3,阶行列式的余子式定义,三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加,n,阶行列式的定义,首行展开,行列式的展开,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。,根据定义算一算,行列式转置后，其,值不变,。,此性质表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有,互换行列式的两行（列），行列式,变号,。,推论：如果行列式,D,有两行（列）相同，则,D=0,行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数,k,，等于,用数,k,乘此行列式。,推论,2,：如果行列式,D,有一行（列）的元素全为零，则,D=0,。,推论,3,：如果行列式,D,有两行（列）的元素成比例，则,D=0,。,推论,1:,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以,提到行列式符号的外面。,推论,4,：设,A,为,n,阶方阵，则,性质,设,D,为任一阶的行列式，则,按行（列）展开得,D,串行（列）展开得零,。,如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，,则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。,把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数,后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的,值不变。,消元变换,行的运算,row,列的运算,column,交换,i,j,两行,数乘第,i,行,数乘第,i,行加到第,j,行,交换,i,j,两列,数乘第,i,列,数乘第,i,列加到第,j,列,变号,K,倍,等值,变号,K,倍,等值,注意与矩阵的初等变换的区别。,性质,推广,1.3.3,行列式的计算,例,计算行列式,D,=,解,按定义，有,D,=5,A,11,+1,A,21,+0,A,31,+0,A,41,=5(-1),1+1,M,11,+1(-1),2+1,M,21,=5 =,2 =2,证明,主对角线行列式,下三角形行列式,利用首行展开法可以证明,下三角形行列式之值等于主对角线元素之积,练一练,计算,例,利用消法变换化行列式为三角形,练一练,计算,证明,行列式的计算方法,按定义,化为三角阵,归纳法,递推法,加边法,