第二章 控制系统的数学模型c1

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,第二章 控制系统的数学模型,第二章 控制系统的数学模型,2-1,线性微分方程的建立与求解,2-2,传递函数,2-3,控制系统的结构图及其等效变换,2-4,自动控制系统例题,2,学习要点,1.,掌握典型元件的传递函数,2.,根据系统原理图或系统方框图能建立系统的结构图,3.,熟练掌握采用结构图变换方法求闭环系统传递函数,4.,熟练掌握采用梅逊公式计算系统的闭环传递函数,3,引 言,要对自动控制系统进行定量地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。,数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。,控制系统数学模型是对实际物理系统的一种,数学抽象,描述方法：,微分方程、传递函数、结构图、信号流图,频率特性以及状态空间描述,同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,控制系统数学模型的类型,时域模型,微分方程,频域模型,频率特性,方框图,=,原理图,数学模型,复（,S,）,域模型,传递函数,4,1.,建立系统数学模型的方法,:,-,分析法、实验法,2-1,系统线性微分方程的建立与求解,实验法,（黑箱法、辨识法）：,人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,黑匣子,输入（充分激励）,输出（测量结果）,分析法,根据系统运动规律,(,定律、经验公式,),和结构参数,推导系统输入输出之间数学关系。,5,设,线性定常系统,由下述,n,阶线性常微分方程,描述：,c(t,),是系统输出量，,r(t),是系统输入量，参数是常系数。,2.,线性系统的基本特征,性质：满足叠加原理,6,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量,得到描述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当物理定律,如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等。,3.,系统微分方程的建立步骤,7,例,如图所示，写出,RLC,电路的微分方程,。,-,二阶线性微分方程,解：输入量 ，,输出量,第一步：环节数学表达式,第二步：消去中间变量,8,补充：拉普拉斯变换与反变换,1,、,拉氏变换定义,设函数,f(t),满足,t0,时，,f,(t),分段连续,则,f,(t),的拉氏变换存在，其表达式记作,控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限,9,2,、拉氏变换基本定理,1,）线性定理：,2,）延迟定理：,3,）微分定理：,零初始条件：,函数,f,(t,),及其各阶导数的,初始值都等于零,零初始条件下，,10,5,）初值定理：,若函数,f,(t,),及其一阶导数都是可拉氏变换的，则,函数,f,(t,),的初值为,4,）积分定理：,6,）终值定理：,若函数,f,(t,),及其一阶导数都是可拉氏变换的，,s,F,(s,),在包含虚轴的右半平面内无极点，,则,函数,f,(t,),的终值为,注意：,在运用终值定理前必须先判定条件是否满足，比如,在右半平面上有极点,11,f(t,),F(s,),单位脉冲,1,单位阶跃,1(t),单位速度,t,指数,单位加速度,正弦函数,3,、工程上典型函数的拉氏变换,12,F,(,s,),化成下列因式分解形式：,4,、拉氏反变换,F(s),中具有单极点时，可展开为,+,-,=,j,j,st,j,ds,e,s,F,t,f,s,s,p,),(,),(,2,1,查表实现,13,例,1,求 的原函数,解：将,F,(,s,),的分母因式分解为,拉氏反变换得,14,F(s),含有,r,重极点时，可展开为,15,例,2,求 的原函数,解：,16,4.,线性微分方程的求解,拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：,（,1,）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量,s,的代数方程。,（,2,）由变量,s,的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。,（,3,）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。,17,例,设线性微分方程为,式中，为单位阶跃函数，初始条件为 ，试求该微分方程的解。,解：,（,1,）对微分方程中的各项进行拉式变换得,（,2,）将初始条件代入上式，得,18,（,3,）对式（,1,）进行分解：,式中,对,Y,（,s,）,进行,拉式反变换,（查表）,19,式中，为,单位阶跃函数,，初始条件为零，试求,例,设线性微分方程为,解：,对微分方程中的各项进行拉式变换得,式中,20,若取某一平衡状态为工作点,如图,A,点附近有点 ，当 很小,时，,AB,段可近似看作线性的。,非线性环节微分方程的线性化,对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，得到等效的线性环节。,设具有连续变化的非线性函数,:y=,f(x,),A,B,y,x,0,5.,非线性元件,(,环节,),微分方程的线性化,经典控制领域，主要研究线性定常控制系统,线性定常系统,：描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,21,若,很小，则,，即,式中，,K,为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，,是非线性方程的线性表示。,设,f(x),在,点连续可微，,则将函数在该点展开为泰勒级数,得：,非线性环节微分方程的线性化,A,B,y,x,0,为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。,22,设双变量非线性方程为：，工作点为,则可近似为：,注意,：,上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特性等），它可以用泰勒级数展开。,实际的工作情况在,工作点附近,。,变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。,对于有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开,23,