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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、ARMA,模型,1、,定义,具有如下结构的模型称为,自回归移动平均模型,，简记为,ARMA(p,q),特别当,0,=0,时，称为,中心化,ARMA(p,q),模型,用过去的自己，并考虑到随机干扰或误差序列来预测自己,三、ARMA模型1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动,1,系数多项式,引进延迟算子，,中心化,ARMA(p,q),模型可简记为,其中p阶自回归系数多项式：,q阶移动平均系数多项式：,系数多项式引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型可简记为,2,2、平稳条件与可逆条件,ARMA(p,q)模型的,平稳条件,P阶自回归系数多项式,(B)=0,的根都在单位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定,ARMA(p,q)模型的,可逆条件,q阶移动平均系数多项式,(B)=0,的根都在单位圆外，,即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定,2、平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件,3,3、传递形式与逆转形式,传递形式,逆转形式,Green,函数：,逆函数：,可转化为无穷阶MA模型,可转化为无穷阶AR模型,3、传递形式与逆转形式传递形式逆转形式Green函数：逆函数,4,4、ARMA(p,q)模型的统计性质,均值,自协方差,自相关系数,自相关系数和偏自相关系数都具有拖尾性,4、ARMA(p,q)模型的统计性质均值,5,【例3.7】,考察ARMA模型的自相关性,ARMA(1,1):,直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。,【例3.7】考察ARMA模型的自相关性ARMA(1,1):,6,显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾,样本自相关图,样本偏自相关图,显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾样本自相关图样本偏自相关图,7,ARMA模型相关性特征：,模型,自相关系数,偏自相关系数,AR(P),拖尾,P阶截尾,MA(q),q阶截尾,拖尾,ARMA(p,q),拖尾,拖尾,这也是直观选择拟合模型的常用方法之一,ARMA模型相关性特征：模型自相关系数偏自相关系数AR(P),8,3.3,平稳,序列的建模,建模步骤,模型识别,参数估计,模型检验,模型优化,3.3 平稳序列的建模 建模步骤,9,一、建模步骤,平,稳,非,白,噪,声,序,列,计,算,样,本,相,关,系,数,模型,识别,参数,估计,模型,检验,模,型,优,化,序,列,预,测,Yes,No,一、建模步骤平模型参数模型模序YesNo,10,二、计算样本相关系数,样本自相关系数,样本偏自相关系数,由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。,二、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数由克莱姆法,11,三、模型识别,基本原则,选择模型,拖尾,P阶截尾,AR(P),q阶截尾,拖尾,MA(q),拖尾,拖尾,ARMA(p,q),一般先通过时序图直观判断序列平稳性，再根据基本原则选择模型。,三、模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖,12,模型定阶的困惑：,因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出完全截尾，,本应截尾的自相关或偏自相关系数仍会呈现出小值振荡,；,因平稳时间序列具有短期相关性，随着延迟阶数无穷大时，,自相关或偏自相关系数都会衰减至0值附近作小值波动,；,没有绝对的标准，,主要靠经验,。有时也利用一下由两种系数的近似分布推出的结论。,何时可作为截尾？何时为拖尾？,模型定阶的困惑：因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出完全,13,样本相关系数的近似分布,Barlett定理,Quenouille定理,样本相关系数的近似分布Barlett定理,14,模型定阶的经验方法,95的置信区间（正态分布2,原则,）,模型定阶的经验方法：,若样本(偏)自相关系数在,最初d阶,明显大于2倍标准差，后面,几乎,95,的值都落在,2,倍标准差范围内，,且衰减为小值波动的过程,很突然,。,这时常视为截尾，截尾阶数为d。,何时可作为截尾？何时为拖尾？,模型定阶的经验方法95的置信区间（正态分布2原则）何时,15,例2.5,续,选择合适的ARMA模型拟合,1950,年,1998,年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。,例2.5续选择合适的ARMA模型拟合1950年1998年北,16,序列自相关图,显然,，延迟3期后，虽自相关系数都落在,2,线,内,但却逐渐的衰减为小值波动，拖尾，平稳。,序列自相关图显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2线内,但,17,序列偏自相关图,显然,，除延迟1期的偏自相关系数显著大于,2,线外,其它突然衰减为小值波动，可认为1阶截尾。,所以可考虑拟合模型AR(1),序列偏自相关图显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2线外,18,【例3.8】,美国科罗拉多州某一加油站连续,57,天的,OVERSHORT,序列,由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳,【例3.8】美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSH,19,序列自相关图,除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内波动，平稳，自相关系数1阶截尾。,序列自相关图除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围,20,序列偏自相关图,显然，偏自相关系数拖尾。,所以可考虑拟合模型MA(1),序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型MA,21,【例3.9】,1880-1985,全球气表平均温度改变值差分序列,由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳,【例3.9】1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列,22,序列自相关图,显然，自相关系数拖尾。,序列自相关图显然，自相关系数拖尾。,23,序列偏自相关图,显然，偏自相关系数拖尾。,所以可考虑拟合模型ARMA(1,1),序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型AR,24,四、参数估计,待估参数,（也称,模型口径,）,非中心化的ARMA(p,q)可转化为,有,p+q+2,个未知参数,常用估计方法：,矩估计,极大似然估计,最小二乘估计,四、参数估计待估参数（也称模型口径）,25,1、矩估计,原理,用相应阶样本自相关系数估计总体自相关系数,样本一阶均值估计总体均值,样本方差估计总体方差,1、矩估计原理,26,【例3.10】,求AR(2)模型系数的矩估计,AR(2)模型,Yule-Walker方程,矩估计（Yule-Walker方程的解）,将偏自相关系数代入Y-W方程,【例3.10】求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型将偏,27,【例3.11】,求MA(1)模型系数的矩估计,MA(1)模型,由MA(1)协方差函数公式,矩估计,【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型,28,【例3.12】,求ARMA(1,1)模型系数的矩估计,ARMA(1,1)模型,自相关系数与自协方差的关系方程,矩估计,【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(,29,矩估计的特点：,优点,估计思想简单直观,不需要假设总体分布,计算量小（低阶模型场合）,缺点,信息浪费严重,只依赖p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略,估计精度较差,通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计,迭代计算的初始值,矩估计的特点：优点,30,2、极大似然估计,原理,极大似然准则：,抽取的样本出现概率最大,。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（联合密度函数）达到最大的参数值,2、极大似然估计原理,31,似然方程,由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的,迭代算法,才能求出未知参数的极大似然估计值,似然方程由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方,32,极大似然估计的特点,优点,极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的,估计精度高,同时还具有估计的,一致性,、,渐近正态性,和,渐近有效性,等许多优良的统计性质,缺点,需要已知总体分布,实际中，为便于计算，,很多时候看作服从多元正态分布,极大似然估计的特点优点,33,3、最小二乘估计,原理,使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值,实际中,最常用,的参数估计方法是,条件最小二乘估计法,3、最小二乘估计原理实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘,34,条件最小二乘估计,假设条件,：过去未观测到的序列值为0，即,残差平方和方程,用,迭代法,，求得使其达最小的参数值。,条件最小二乘估计假设条件：过去未观测到的序列值为0，即,35,最小二乘估计的特点,最小二乘,估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的,估计精度高；,不需总体分布，便于实现，所以条件最小二乘估计方法,使用率最高。,最小二乘估计的特点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供,36,例2.5,续,确定,1950,年,1998,年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径,拟合模型：AR(1),估计方法：极大似然估计,模型口径,例2.5续确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比,37,例3.8,续,确定美国科罗拉多州某一加油站连续,57,天的,OVERSHORTS,序列拟合模型的口径,拟合模型：MA(1),估计方法：条件最小二乘估计,模型口径,例3.8续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERS,38,例3.9,续,确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径,拟合模型：ARMA(1,1),估计方法：条件最小二乘估计,模型口径,例3.9续确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序,39,作业,P98习题三 12,作业 P98习题三 12,40,
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