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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,四,章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,定理,4.1,.,n,阶方阵,A,可相似对角化,存在,n,个线性无关的向量,1,2,n,以及,n,个数,1,2,n,使得,A,i,=,i,i,i,=1,2,n.,定理,4.3,.,A,n,n,相似于对角矩阵,A,有,n,个线性无关的特征向量,.,如何判断？,一,.,矩阵,可,相似,对角化的判别,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,1,1,s,1,r,2,线性无关,线性无关,1,s,1,r,线性无关,A,1,2,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,定理,4.4,.,定理,4.5,.,1,2,s,A,11,1,t,1,线性无关,11,1,t,21,2,t,s,1,st,线性无关,1,2,s,2,线性无关,21,2,t,s,线性无关,s,1,st,互异,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,推论,1,.,n,阶方阵,A,相似于对角矩阵,t,1,+,t,2,+,t,s,=n,.,推论,2,.,若,n,阶方阵,A,有,n,个互异的特征值,A,相似于对角矩阵,.,推论,3,.,A,的属于不同特征值的特征向量,线性无关,.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,例,1,.,A,=,1 2,3,1 4 3,1,a,5,有一个,2,重特征值,.,(1),a,=?,(2),A,是否可以相似对角化,?,解,:,|,E,A,|=,1,2 3,1,4 3,1 ,a,5,=(,2)(,2,8,+18+3,a,).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,因此,A,可以相似对角化,.,(1),若,=2,是二重根,则,a,=2.,对应于,1,=,2,=2,(,2,E,A,),x,=,0,的基础解系为,:,1,=(2,1,0,),T,2,=(,3,0,1),T,.,对应于,3,=6,(,6,E,A,),x,=,0,的基础解系为,:,3,=(,1,1,1,),T,.,A,的特征值,1,=,2,=2,3,=6,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,因此,A,可以相似对角化,.,(1),若,=2,是二重根,则,a,=2.,对应于,1,=,2,=2,(,2,E,A,),x,=,0,的基础解系为,:,1,=(2,1,0,),T,2,=(,3,0,1),T,.,对应于,3,=6,(,6,E,A,),x,=,0,的基础解系为,:,3,=(,1,1,1,),T,.,A,的特征值,1,=,2,=2,3,=6,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,令,P,=,则,P,1,AP,=.,2,1,0,-3,0,1,-1,-1,1,2,2,6,因此,A,不可以相似对角化,.,(2),若,=2,是单根,则,a,=2/3.,A,的特征值,1,=2,2,=,3,=4.,对应于,1,=2,(,2,E,A,),x,=,0,的基础解系为,:,1,=(,3,0,1),T,.,对应于,2,=,3,=4,考虑,(4,E,A,),x,=,0.,由于,r(,4,E,A,)=2,故,2,=,3,=4,仅有一个线性无关的特征向量,.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,1,的重数,观察,.,属于,的线性无关的,特征向量的个数,1,2,1,2,3,2,1,3,k,k,k,-1,k,-2,1,代数重数,几何重数,结论,.,的代数重数,的几何重数,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,结论,.,的代数重数,的几何重数,考虑矩阵是否可以相似对角化,优先,计算,重根,的线性无关特征向量的个数,.,(1),存在,某个,特征值,的代数重数,的几何重数,则,A,一定不能相似对角化,.,(2),对,所有,特征值,的代数重数,=,的几何重数,则,A,一定可以相似对角化,.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,二,.,Jordan,标准形简介,若不考虑,Jordan,块的次序,J,由,A,唯一决定,.,定理,4.6,.,设,A,为,n,阶复方阵,则,A,相似于,J,1,J,2,J,s,Jordan,形矩阵,J,=,Jordan,块,i,i,i,1,1,i,其中,J,i,=,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,课后,思考,题,设,n,阶方阵,A,满足,A,2,=,A,(2),设,r(,A,)=r,求,|,A,+,E,|.,(1),证明,A,一定可以相似对角化；,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3,矩阵可相似对角化的条件,
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