121任意角的三角函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,读书是基础 反思是重点 行动是关键,1.2.1任意角的三角函数,思考一,二,三,例,1,例,3,四,例,2,例,4,检测,作业,a,A,C,B,b,c,答案,初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？,y,x,思考,1,在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,a,b,r,知识 探究一,以原点,O,为,圆心，以单位,长度为半径的圆，称为单位圆,.,y,o,x,1,M,思考,2,1,、任意角的三角函数第一定义,设,是一个,任意角,，它的终边与单位圆交于点,规定,:,（,1,）叫做 的,正弦,，记作 ，即 ；,（,2,）叫做 的,余弦,，记作 ，即 ；,（,3,）叫做 的,正切,，记作 ，即 。,注意：正弦，余弦，正切都是以,角为自变量,，以,单位圆,上点的,坐标或坐标的比值,为函数值的函数，我们将他们称为,三角函数,.,升级兼容,根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）,思,考,3,三角函数,定义域,R,R,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，,点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正,切,，即,2,、任意角的三角函数第二定义：,x,y,M,P,(,x,y,),诱思 探究,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,思考四,升级兼容,返回,理论,迁移,例,1,、求 的正弦、余弦和正切值,.,解：在直角坐标系中，作,，易知,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：若把角 改为 呢,?,，,C,数形结合法,几个特殊角的三角函数值,角,0,o,30,o,45,o,60,o,90,o,180,o,270,o,360,o,角,的弧度数,sin,cos,tan,例,2,、已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值,.,于是,，,解：由已知可得：,定义法,返回,变式,1,、已知角 的终边过点 ，,求 的三个三角函数值,.,于是,，,解：由已知可得：,合作 演练,变式2：,已知角,的终边经过点,P,(2,a,-3,a,)(,a,0),，求角,的正弦、余弦、正切值,变式3：,已知角,的终边经过点,P,(2,a,-3,a),，求角,的正弦、余弦、正切值,变式,4,划归的思想,返回,1.,角,的终边经过点,P(0,b),则,(),A.sin,=0 B,.sin,=1,C.sin,=-1 D,.sin,=1,2.,若角,600,o,的终边上有一点,(-4,a),则,a,的值是,(),D,B,练习,三角函数的符号,三角函数在各象限内的符号：,o,x,y,上正下负横为0,o,x,y,三角函数在各象限内的符号：,左负右正纵为0,o,x,y,三角函数在各象限内的符号：,交叉正负,o,x,y,o,x,y,o,x,y,规律：,“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”,“一全二正弦，三切四余弦”,例,1,确定下列三角函数值的符号：,（,1,）（,2,）（,3,）,（,2,）因为,=,，,而 是第一象限角，所以 ；,练习 确定下列三角函数值的符号,（,1,）因为 是第三象限角，所以 ；,解：,（,3,）因为 是第四象限角，所以,.,例,2,若,成立，则角,为第几象限角角？,？,例,2,若,成立，则角,为第几象限角角？,？,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,y,o,x,1,M,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,（其中 ）,公式作用：,可以把求任意角的三角函数值，,转化为求 角的三角函数值,.,？,例,3,求下列三角函数值：,（,1,）（,2,）,解：（,1,）,练习 求下列三角函数值,（,2,）,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),角,的终边与单位圆交于点,P,.,过点,P,作,x,轴的垂线,垂足为,M.,|MP|=|y|=|,sin,|,|OM|=|x|=|,cos,|,三角函数线,正弦线和余弦线,【,思考,】,为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段,OM,、,MP,规定一个适当的方向,使它们的取值与点,P,的坐标一致,?,【,定义,】,有向线段,*,带有方向的线段叫有向线段,.,*,有向线段的大小称为它的数量,.,在坐标系中,规定,:,有向线段的方向与坐标系的方向相同,.,即同向时,数量为正,;,反向时,数量为负,.,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),当角,的终边不在坐标轴上时,以,M,为始点、,P,为终点,规定,:,当线段,MP,与,y,轴,同向,时,MP,的方向为,正向,且有,正值,y,;,当线段,MP,与,y,轴,反向,时,MP,的,方向,为,负向,且有,负值,y,.,MP,=,y,=,sin,有向线段,MP,叫角,的,正弦线,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),|MP|=|y|=|,sin,|,|OM|=|x|=|,cos,|,当角,的终边不在坐标轴上时,以,O,为始点、,M,为终点,规定,:,当线段,OM,与,x,轴,同向,时,OM,的方向为,正向,且有,正值,x,;,当线段,OM,与,x,轴,反向,时,OM,的方向为,负向,且有,负值,x,.,OM=x,=,cos,有向线段,OM,叫角,的,余弦线,T,T,T,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),T,过点,A,(1,0),作单位圆的切线,设它与,的终边或其反向延长线相交于点,T,.,有向线段,AT,叫角,的,正切线,这三条与单位圆有关的有向线段,MP,、,OM,、,AT,分别叫做角,的,正弦线、余弦线、正切线,统称为,三角函数线,y,x,T,M,O,P,的终边,A,(1,0),当角,的终边与,x,轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角,的,正弦值和正切值都为,0,;,当角,的终边与,y,轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存,在,此时角,的,正切值不存在,.,例,在单位圆中作出符合下列条件的角的终边,:,x,O,y,-1,-1,1,1,P,M,例题,-1,x,y,1,1,-1,O,例,:,在单位圆中作出符合条件的角的终边,:,-1,x,y,1,1,-1,O,例,:,在单位圆中作出符合条件的角的终边,:,变式：,写出满足条件 ,cos,的角,的集合,.,x,O,y,-1,-1,1,1,虚线,课堂 练习,1.,已知,是第三象限且 ，问 是第几象限角？,2,.若在第四象限，试判sin(cos)cos(sin)的符号,课堂 练习,3,.,若lg(sin,tan)有意义，则是（）,A 第一象限角 B 第四象限角,C 第一象限角或第四象限角,D 第一或第四象限角或x轴的正半轴,C,4.,已知,的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,则a的取值范围是,。,-2a,3,5.,利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：,sincos;,课堂 练习,1.,内容总结：,(1),三角函数的概念,.,(2),三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号,(3),诱导公式一,.,(4),三角函数线,运用了定义法、公式法、数形结合法解题,.,划归的思想，数形结合的思想,.,归纳 总结,2.,方法总结：,3.,体现的数学思想：,再见,