大学物理第15章 机械波

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,普通高等教育“十一五国家级规划教材大学物理第二版 第 四 篇 波动学 第 15 章 机械波 课件制 李洁,第,15,章,本章主要内容,波的干涉,波的衍射,多普勒效应,平面简谐波的波函数,15.2,波的能量,15.3,15.4,15.5,15.6,非线性波,15.7,机械波的产生及特征,15.1,15.1,机械波的产生及特征,15.1.1,机械波的产生,15.1.2,波的分类,15.1.4,波振面和波线,15.1.3,波的特征量,15.1.1,机械波的产生,振动的传播过程称为波动。,机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。,产生机械波的必要条件：,波源 作机械振动的物体；,媒质 能够传播机械振动的弹性媒质。,波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。,波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。,15.1.2,波的分类,横波,：,质点的振动方向与波的传播方向垂直,纵波,：,质点的振动方向与波的传播方向平行,软绳,波的传播方向,质点振动方向,软弹簧,波的传播方向,质点振动方向,在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体外表的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。,15.1.3,波的特征量,周期,T,波速,u,波长,单位时间内振动状态,(,或相位,),传播的距离标准单位,m/s,沿波的传播方向上,两个相邻的同相位质点之间的距离,称为波长,.,单位,m,波动传播一个波长的距离所需要的时间,称为周期,.,单位,s,波的传播速度、波长、周期或频率是波的特征量,.,关系为 或,波传播方向,波速,15.1.3,波的特征量,(,续,1),关于波速问题,:,波速取决于媒质的弹性,(,弹性模量,),和媒质的惯性,(,密度,),固体,:,固体可以产生切变和容变,其相应弹性模量如下计算,固体的切变弹性模量,固体的容变弹性模量,液体和气体,:,液体可以产生容变,其容变弹性模量如固体一致,对于密度为 的固体,在其中传播横波和纵波的速度为,液体和气体中传播纵波的波速为,15.1.3,波的特征量,(,续,2),关于波速问题,:,波速取决于媒质的弹性,(,弹性模量,),和媒质的惯性,(,密度,),细长棒,:,沿着棒的长度方向传播纵波的波速取决于杨氏弹性模量及其惯性,波速为,紧张的弦上传播的横波的波速取决于密度,和张力,T,15.1.4,波阵面和波线,波 前,波 面,波 线,波面,振动相位相同的点连成的面。,波前,最前面的波面。,平面波,（波面为平面的波）,球面波,（波面为球面的波）,波线（波射线）,波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。,15.2,平面简谐波的波函数,15.2.1,平面简谐波的波函数,15.2.2,波函数的物理意义,15.2.3,波动微分方程,15.2.1,平面简谐波的波函数,简谐波,:,由简谐振动的传播所形成的波动。,简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加,对于机械波，若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波，则为简谐机械波。,简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加,简谐波的一个重要模型是平面简谐波。,平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波列足够长，各质点振动的振幅恒定。,15.2.1,平面简谐波的波函数,(,续,1),一列平面简谐波（假定是横波）,观测坐标原点任设,（不必设在波源处）,波沿,X,轴正向传播,（正向行波）,如何描述任意时刻 、波线上距原点为 的任一点 的振动规律？,设,位于原点 处质点的,振动,方程为,cos,已知振动状态以速度 沿 轴正向传播,。,对应同一时刻,，,振动状态与原点在,时刻的振动状态相同。,点的,因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为,cos,这就是沿,X,轴正向传播的,平面简谐波动方程,。它是,时间,和,空间,的双重周期函数。,15.2.1,平面简谐波的波函数,(,续,2),沿,X,轴正向传播的,平面简谐波动方程,cos,得,cos,cos,波动方程常用周期,波长,或频率,的形式表达,由,消去波速,和,分别具有单位时间和单位长度的含义，,分别与时间变量 和空间变量 组成对应关系。,15.2.2,波函数的物理意义,cos,若给定 ，波动方程即为距原点 处的质点振动方程,cos,距原点 处质点振动的初相,若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。,cos,15.2.2,波函数的物理意义,(,续,1),若 和 都是变量，即 是 和 的函数，这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。,cos,cos,正,向波,同一时刻，沿,X,轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。,波沿,X,轴正向传播,波沿,X,轴反向传播,15.2.3,波动的微分方程,把平面简谐波的波函数分别对,t,和,x,求二阶导数得,将左边两式相比较有如下关系,:,任一平面简谐波可以由许多不同频率的简谐波合成,所以对任一平面波的波函数分别求,t,和,x,的二阶偏导,都可以得到右式,它反映了一切平面波的共同特征,称为平面波的波动方程,15.3,波的能量,现象：,若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）,上下,抖动,振速 最小,振速 最大,形变最小,形变最大,时刻波形,在波动中，各体积元产生不同程度的,弹性形变,，,具有,弹性势能,各体积元以变化的,振动速率,上下振动，,具有,振动动能,总能量,15.3,波的能量,(,续,1),动能,动能计算,势能计算,波函数,波在传播过程中,任一时刻体元的动能和势能不仅大小相等,而且相位也相同,15.3,波的能量,(,续,2),能量密度,波在一周期中的能量,波的强度,一个波长平均能量,能量,按周期平均能量,按波长平均能量,介质中单位体积的能量,单位时间内通过垂直于波速,u,的单位横截面积上的平均能量,W/m,2,15.4 波的干预,干涉,驻波,波的干涉,波的叠加原理,15.4.1,15.4.2,15.4.3,15.4.1,波的叠加原理,几列波在同一介质中传播时,在相遇处每列波仍然保持各自原有的特性,(,波长、频率、振动方向等）。相遇处质点的振动，是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成，这种波动传播的独立性称为波的独立性原理，或波的,叠加原理,15.4.2 波的干预,波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象。,若有两个波源,振动,频率相同,振动,方向相同,振动,相位差恒定,它们发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动始终加强，某些质点的振动始终减弱或完全相消。这种现象称为,波的干涉,。,能产生干涉现象的波称为,相干波,其波源称为,相,干波源,15.4.2 波的干预续1,相干振动合成,相干振动合成,分别引起,P,点的,振动,2,p,r,1,l,y,1,A,1,cos,w,t,+(,j,1,),y,2,A,2,cos,w,t,+(,j,2,2,p,r,2,l,),合振动,y,y,1,+,y,2,A,cos(,w,t,+,j,),A,A,1,2,A,2,2,A,1,A,2,cos,2,j,2,j,1,2,p,(,),r,2,r,1,l,j,arc,tan,j,1,2,p,r,1,l,),(,A,1,sin,j,2,2,p,r,2,l,),(,A,2,sin,j,1,2,p,r,1,l,),(,A,1,cos,j,2,2,p,r,2,l,),(,A,2,cos,A,2,A,1,A,y,10,A,10,cos(,w,t,+,j,1,),y,20,A,20,cos(,w,t,+,j,2,),两相干波源的,振动,方程,15.4.2 波的干预续2,相干振动合成,分别引起,P,点的,振动,y,1,A,1,cos,w,t,+(,j,1,),y,2,A,2,cos,w,t,+(,j,2,2,p,r,1,l,2,p,r,2,l,),合振动,y,y,1,+,y,2,A,cos(,w,t,+,j,),A,2,A,1,A,y,10,A,10,cos(,w,t,+,j,1,),y,20,A,20,cos(,w,t,+,j,2,),两相干波源的,振动,方程,1,A,A,2,A,2,2,A,1,A,2,cos,2,j,2,j,1,2,p,(,),r,2,r,1,l,故空间每一点的合成振幅,A,保持恒定,。,P,点给定，则 恒定。,y,1,y,2,两振动的相位差,相长与相消干预,A,A,1,2,A,2,2,A,1,A,2,cos,2,(,j,2,j,1,2,p,),r,2,r,1,l,合成振动的振幅最大,r,2,r,1,2,p,l,j,2,j,1,（,0,1,2,),当,时,max,r,2,r,1,2,p,l,j,2,j,1,当,（,0,1,2,),时,合成振动的振幅最小,min,15.4.2 波的干预续3,15.4.2 波的干预续4,波程差表达式,A,A,2,A,2,2,A,1,A,2,cos,2,(,j,2,j,1,2,p,),r,2,r,1,l,若,j,2,j,1,即两分振动具有相同的初相位则,取决于两波源到,P,点的路程差 ，称为,波程差,r,2,r,1,2,p,l,（,0,1,2,),当,时,即,则合成振动的振幅最大,max,波程差为零或为波长的整数倍时，各质点的振幅最大，干涉相长。,r,2,r,1,2,p,l,（,0,1,2,),当,时,则合成振动的振幅最小,即,min,波程差为半波长的奇数倍时，各质点的振幅最小，干涉相消。,15.4.3,驻 波,波干涉是特定条件下的波叠加，,驻波是特定条件下的波干涉。,条 件：,两列,相干波,振幅相等,相向传播,发生,干涉,现 象：,干涉区域中形成的驻波,各质点的振幅分布规律恒定,形成一种非定向传播的波动现象,正向行波,反向行波,max,min,0,波腹,波节,15.4.3 驻 波续1,驻波形成图解,t,=,0,t,=,T,/,8,t,=,T,/,4,t,=,3,T,/,8,t,=,T,/,2,t,=,5,T,/,8,t,=,3,T,/,4,t,=,7,T,/,8,t,=,T,在同一坐标系,XOY,中,正向波,反向波,驻波,点击鼠标，观察在一个周期,T,中不同时刻各波的波形图。,每点击一次，,时间步进,合成驻波,15.4.3 驻 波续2,为简明起见，,设,改写原式得,并用,cos,cos,由,正向波,反向波,cos,cos,驻 波 方 程,数学描述,驻 波,cos,cos,注意到三角函数关系,cos,cos,cos,cos,cos,cos,得,驻 波 方 程,cos,cos,驻 波 方 程,波节,波腹,波腹,处振幅最大,cos,波节,处振幅最小,cos,.,.,它的绝对值表示位于坐标,x,处的振动质点的振幅。即描述振幅沿,X,轴的分布规律。,振幅分布因子,谐振动因子,驻波中各质点均以同一频率 作简谐振动,。,15.4.3 驻 波续2,驻波的相位特点,驻波的能量特点,同一时刻,相邻两,波节之间,的各质点的振动相位,相同,波节两侧,的各质点的振动,相反,；,驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形不发生定向传播,最大,其它各质点同时通过,平衡位置,时,波节,体积元不动，动能,其它各质点同时到达,最大位移,时,波腹其它质点的动能,波节处变最大 势能,最大,波腹,附近各点速度最大,波节,及其它点无形变,驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移