资源描述
目 录,考情解读,*,*,知识体系构建,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四讲 直线、平面垂直的判定及性质,第八章 立体几何,考点帮,必备知识通关,考点,1,直线与平面垂直的判定与性质,考点,2,平面与平面垂直的判定与性质,考法帮,解题能力提升,考法,1,线面垂直的判定与性质,考法,2,面面垂直的判定与性质,高分帮,“,双一流,”,名校冲刺,通思想 方法指导,思想方法 转化思想在立体几何中的应用,提能力 数学探索,数学探索,1,立体几何中的探索性问题,数学探索,2,立体几何中的翻折问题,考情解读,考情解读,考点,1,直线与平面垂直的判定与性质,考点,2,平面与平面垂直的判定与性质,考点帮,必备知识通关,考点,1,直线与平面垂直的判定与性质,1,.,直线和平面垂直的定义,直线,l,与平面,内的任何一条直线都垂直,就说直线,l,与平面,互相垂直,.,2,.,直线与平面垂直的判定定理和性质定理,规律总结,直线与平面垂直的,6,个结论,(1),若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线,(,证明线线垂直的一个重要方法,),.,(2),若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,.,(3),若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则这条直线与另一个平面也垂直,.,(4),两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面,.,(5),三垂线定理,:,平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直,.,(6),三垂线定理的逆定理,:,平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直,.,考点,2,平面,与平面垂直的判定与性质,1,.,平面与平面垂直的定义,一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,.,2,.,平面与平面垂直的判定定理和性质定理,考法,1,线面垂直的判定与性质,考法,2,面面垂直的判定与性质,考法帮,解题能力提升,考法,1,线面垂直的判定与性质,示例,1,如图,8,-,4,-,3,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AB,=,AC,=,AA,1,=3,BC,=2,D,是,BC,的中点,F,是,CC,1,上一点,.,(1),当,CF,=2,时,证明,:,B,1,F,平面,ADF.,(2),若,FD,B,1,D,求三棱锥,B,1,-ADF,的体积,.,思维导引,(1),证明,B,1,F,与两直线,AD,DF,垂直,利用线面垂直的判定定理得出,B,1,F,平面,ADF,;(2),若,FD,B,1,D,则,Rt,CDF,Rt,BB,1,D,可求,DF,即可求三棱锥,B,1,-ADF,的体积,.,图,8,-,4,-,3,方法技巧,1,.,证明线面垂直的常用方法,(1),利用线面垂直的判定定理,(,a,b,a,c,b,c=,M,b,c,a,);,(2),利用面面垂直的性质定理,(,=,l,a,l,a,a,);,(3),利用面面平行的性质,(,a,a,);,(4),利用垂直于平面的传递性,(,a,b,a,b,),.,2,.,证明线线垂直的常用方法,(1),利用线面垂直的性质证明线线垂直,;,(2),计算两条直线的夹角为,90,或运用勾股定理判断垂直,.,3,.,证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质,.,因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,.,思维流程如下:,考法,2,面面垂直的判定与性质,示例,2,2018,北京,18,14,分,文,如图,8,-,4,-,5,在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,为矩形,平面,PAD,平面,ABCD,PA,PD,PA=PD,E,F,分别为,AD,PB,的中点,.,(),求证,:,PE,BC.,(),求证,:,平面,PAB,平面,PCD.,(),求证,:,EF,平面,PCD.,思维导引,(),欲证,PE,BC,只需证明,PE,AD,即可,;(),先证,PD,平面,PAB,进而可证明平面,PAB,平面,PCD,;(),取,PC,的中点,G,连接,FG,DG,通过证明,EF,DG,可证得,EF,平面,PCD.,图,8,-,4,-,5,解析,（,),因为,PA,=,PD,且,E,为,AD,的中点,所以,PE,AD.,因为底面,ABCD,为矩形,所以,BC,AD,所以,PE,BC.,(),因为底面,ABCD,为矩形,所以,AB,AD.,因为平面,PAD,平面,ABCD,平面,PAD,平面,ABCD,=,AD,所以,AB,平面,PAD.,(,面面垂直的性质定理,),所以,AB,PD.,(,线面垂直的性质定理,),又,PA,PD,PA,AB,=,A,所以,PD,平面,PAB,(,线面垂直的判定定理,),又,PD,平面,PCD,所以平面,PAB,平面,PCD.,(,面面垂直的判定定理,),图8,-,4,-,6,方法技巧,1,.,证明面面垂直的方法,(1),利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题,.,(2),利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,进而把问题转化为证明线线垂直加以解决,.,2,.,面面垂直性质的应用,(1),两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件,.,(2),两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面,.,高分帮,“双一流”名校冲刺,通思想 方法指导,思想方法 转化思想在立体几何中的应用,提能力 数学探索,数学探索,1,立体几何中的探索性问题,数学探索,2,立体几何中的翻折问题,思想方法 转化思想在立体几何中的应用,示例,3,2021,大同市调研测试,如图,8,-,4,-,8,在圆柱,W,中,点,O,1,O,2,分别为上、下底面圆的圆心,平面,MNFE,是轴截面,点,H,在上底面圆周上,(,异于,N,F,),点,G,为下底面圆弧,ME,的中点,点,H,与点,G,在平面,MNFE,的同侧,圆柱,W,的底面圆的半径为,1,.,(1),若平面,FNH,平面,NHG,证明,NG,FH,;,(2),若直线,O,1,H,平面,FGE,求点,H,到平面,FGE,的距离,.,图,8,-,4,-,8,思维导引,(1),因为,H,是上底面圆周上一点,所以,HN,FH,根据面面垂直的性质得,FH,平面,NHG,所以,FH,NG,;(2),连接,O,1,O,2,O,2,H,则,O,1,O,2,FE,可得,O,1,O,2,平面,FGE,结合,O,1,H,平面,FGE,可将点,H,到平面,FGE,的距离转化为点,O,2,到平面,FGE,的距离,.,解析,（,1),因为平面,FNH,平面,NHG,平面,FNH,平面,NHG,=,NH,NH,FH,FH,平面,FNH,所以,FH,平面,NHG,(,面面垂直转化为线面垂直,),又,NG,平面,NHG,所以,FH,NG.,(,线面垂直转化为线线垂直,),(2)如图8,-,4,-,9所示,连接,O,1,O,2,O,2,H,因为,O,1,O,2,EF,O,1,O,2,平面,FGE,EF,平面,FGE,所以,O,1,O,2,平面,FGE.,(线线平行转化为线面平行),图8,-,4,-,9,方法技巧,转化思想常用来解决立体几何中的体积问题,线面平行、垂直问题,当体积不易直接求解时,可转换底面和高求解,求解线面位置关系问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,.,运用转化思想求解立体几何问题时,既要注意一般问题的转化规律,也要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范,.,规律总结,1,.,三种平行关系的转化,2,.,三种垂直关系的转化,3,.,平行、垂直的转化,数学探索,1,立体几何中的探索性问题,示例,4,2019,北京,18,14,分,文,如图,8,-,4,-,10,在四棱锥,P-ABCD,中,PA,平面,ABCD,底面,ABCD,为菱形,E,为,CD,的中点,.,(),求证,:,BD,平面,PAC.,(),若,ABC=,60,求证,:,平面,PAB,平面,PAE.,(),棱,PB,上是否存在点,F,使得,CF,平面,PAE,?,说明理由,.,图,8,-,4,-,10,解析,(),因为,PA,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,所以,PA,BD.,因为底面,ABCD,为菱形,所以,BD,AC.,又,PA,AC=A,所以,BD,平面,PAC.,(),因为,PA,平面,ABCD,AE,平面,ABCD,所以,PA,AE.,因为底面,ABCD,为菱形,ABC=,60,且,E,为,CD,的中点,所以,AE,CD.,所以,AB,AE.,又,PA,AB=A,所以,AE,平面,PAB.,又,AE,平面,PAE,所以平面,PAB,平面,PAE.,图8,-,4,-,11,方法技巧,解决立体几何中的探索性问题的策略,1,.,通常假定题中的数学对象存在,(,或结论成立,),或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,;,否则,给出肯定结论,.,2,.,涉及线段上点的位置的探索性问题一般先根据条件猜测点的位置再给出证明,所求点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点,求解时注意三点共线条件的应用,.,注意,猜测点的位置时,注意特殊位置关系和极端情形的应用,.,数学探索,2,立体几何中的翻折问题,示例,5,2019,全国卷,19,12,分,文,图,8,-,4,-,12(1),是由矩形,ADEB,Rt,ABC,和菱形,BFGC,组成的一个平面图形,其中,AB,=1,BE,=,BF,=2,FBC,=60.,将其沿,AB,BC,折起使得,BE,与,BF,重合,连接,DG,如图,8,-,4,-,12(2),.,(1),证明,:,图,8,-,4,-,12(2),中的,A,C,G,D,四点共面,且平面,ABC,平面,BCGE.,(2),求图,8,-,4,-,12(2),中的四边形,ACGD,的面积,.,图,8,-,4,-,12,(1),翻折后,由已知得,AD,BE,CG,BE,(,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变,),所以,AD,CG,故,AD,CG,确定一个平面,从而,A,C,G,D,四点共面,.,由已知得,AB,BE,(,与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不变,),AB,BC,BC,BE,=,B,故,AB,平面,BCGE.,又,AB,平面,ABC,所以平面,ABC,平面,BCGE.,(2),如图,8,-,4,-,13,取,CG,的中点,M,连接,EM,DM.,图,8,-,4,-,13,您好，谢谢观看！,方法技巧,解决立体几何中的翻折问题,关键是弄清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,以及翻折过程中运动变化的点的位置,.,一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化,;,对于不变的关系一般在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决,.,规律总结,(1),与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变,;,(2),与折痕平行的线段,翻折前后平行关系不改变,.,
展开阅读全文