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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,第七章第,1,节空间直角坐标系,第一页，共44页。,三、空间直角坐标系,今后,我们将介绍三维空间以及三维空间中直线、曲线、平面、曲面的解析关系.对于二维向量空间,我们已很熟悉,本书着重介绍三维向量空间中的一些基本概念.,第二页，共44页。,一、空间直角坐标系,对于二维空间,我们引入相应直角坐标系,的途径是通过平面一定点,作两条互相垂直的,数轴而成.,对于三维空间,我们可类似地建立,相应的空间直角坐标系,即过空间中一定点,O,作三条互相垂直的数轴,它们以,O,为公共原点,且具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为,x,轴,y,轴,z,轴,都统称为数轴.,第三页，共44页。,数轴正向不同,可建立不同的直角坐标系.如,0,x,y,z,0,x,y,z,0,x,z,y,0,x,y,z,为统一起见,我们用右手法则确定其正向.,O,x,y,z,第四页，共44页。,主要名称与记号:,1.坐标平面:,三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.,xy,平面,yz,平面,zx,平面.,第五页，共44页。,2.卦限:,三个坐标平面将空间分为,八个部分,每一部分叫做一个卦限.,IV,VI,V,VII,0,x,y,VIII,II,III,I,z,点在各卦限中坐标的符号：,I,II,(,+,+),(+,+,+),III,(,+),IV,(+,+),V,(+,+,),VI,(,+,),VII,(,),VIII,(,+,),第六页，共44页。,3.空间点在空间直角坐标系中的表示法.,R,Q,P,O,x,y,z,M,x,y,z,如此,记,P,Q,R,在,x,轴,y,轴,z,轴上的坐标,依次为,x,y,z,.,因此,点,M,一一对应于,有序数组,(,x,y,z,).,第七页，共44页。,4.点,M,的坐标,点,M,(,x,y,z,),记为,M,(,x,y,z,),x,y,z,称为,M,的坐标.,横坐标,纵坐标,竖坐标,第八页，共44页。,5.三维向量与空间点的一一对应关系.,点,M,一一对应,(,x,y,z,),始点,终点,OM,第九页，共44页。,6.三维向量加法的几何意义,z,x,y,o,z,x,y,o,平行四边形法则,三角形法则,第十页，共44页。,7.数乘的几何意义,(,1),(,1),(0,1),(1,0,1,0,0,0,(,)=0,(,)=,因此，,/,时,(,)仍表示,正向之间的夹角.,可定义：,若,=0,仍可视(,)为,正向之间的夹角.,第二十二页，共44页。,其中，0,(,),表示,正向之间的夹角.,第二十三页，共44页。,例2.,解:,所做功,W,=,f,1,s,S,F,s,F,1,=|,F|S|,cos(,F,S,),=,F,S,.,第二十四页，共44页。,例3.,求空间任意点,=,(,x,y,z,)与三个坐标轴之间的夹角.,解:,在坐标轴上分别取三个单位向量,i,=(1,0,0),j,=(0,1,0),k,=(0,0,1),则,第二十五页，共44页。,如果,是单位的,即|,|,=1,则,cos,(,i,)=,x,cos,(,j,)=,y,cos,(,k,)=,z,如果,不是单位的,可进行单位化.,=,=(,cos,(,i,),cos,(,j,),cos,(,k,).,易知,cos,2,(,i,),cos,2,(,j,),cos,2,(,k,),=1.,的,方向余弦,及,方向角,与坐标轴夹角的余弦,第二十六页，共44页。,例4.,设两点,M,1,(2,2,),M,2,(1,3,0).求向量,M,1,M,2,的方向余弦及与,M,1,M,2,反方向的单位向量.,解:,=,M,1,M,2,第二十七页，共44页。,与,M,1,M,2,反方向的向量为,将其单位化,得单位化向量,第二十八页，共44页。,向量在轴上的投影,M,P,u,点,P,为点,M,在轴上的投影.,M,1,M,2,u,1,u,2,u,u,2,u,1,为,M,1,M,2,在轴上的投影,记为,Proj,u,=u,2,u,1,.,第二十九页，共44页。,M,1,o,u,1,u,2,u,o,u,1,u,2,u,M,2,M,2,M,1,第三十页，共44页。,性质：,2)设,=(,x,y,z,),则,Proj,i,=i=x，,Proj,j,=j=y,Proj,k,=k=z,;,3)Proj,u,(,+,),=,Proj,u,+,Proj,u,.,1)Proj,u,=u,0,其中,u,0,为与u轴同向的单位向量;,第三十一页，共44页。,例5.,设,M,(2,1,0),=(1,1,0)求,OM,在,上的投影,解：,M,y,x,z,o,第三十二页，共44页。,在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，,不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.,第三十三页，共44页。,M,B,l,|,|=,称为角速度向量.,=|,r,|sin,=|,|,r|,sin,考察一个刚体绕一轴,l,作旋转，刚体上任意一点就产生线速度,v,，它的大小等于点,M,到旋转轴的距离乘旋转角速度,.方向垂直于过,l,及,M,的平面.,v,r,v,的方向与,r,都垂直.,=|,|r|,sin(,r,).,/,l,轴，满足,A,|,v|,|=|,MB,|,则,第三十四页，共44页。,定义：,设,R,3,，定义,=,R,3,满足,ii),的指向按右手法则从,转到,确定且与,所在平面垂直.,由此知上例中,称,为向量,和,的向量积.,v,=,r,.,i)|,|=|,|,|,|sin(,)，,第三十五页，共44页。,性质,i),i,j,=,k,j,k,=,i,k,i,=,j,ii),=,0,特别有,i,i,=,j,j,=,k,k,=0,iii),R,3,为非零向量，则,/,=0.,运算规律,，设,R,3,则,i),=,=(,),;,ii)(,+,),=,+,;,iii)(,),=,(,),=,(,).,第三十六页，共44页。,向量积的坐标表示：,设,=(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,y,2,z,2,),=(,x,1,i,+,y,1,j,+,z,1,k,)(,x,2,i,+,y,2,j,+,z,2,k,),=,x,1,y,2,i,j,+,x,1,z,2,i,k+y,1,x,2,j,i+y,1,z,2,j,k+z,1,x,2,k,i+z,1,y,2,k,j,=,x,1,y,2,k,+,x,1,z,2,(,j,),+y,1,x,2,(,k,),+y,1,z,2,i+z,1,x,2,j+z,1,y,2,(,i,),第三十七页，共44页。,=(,y,1,z,2,z,1,y,2,),i+,(,z,1,x,2,x,1,z,2,),j+,(,x,1,y,2,y,1,x,2,),k,第三十八页，共44页。,例6,求以,=(2,1,1),=(1,1,2)为两边的平等四边形的面积.,解：,S,=|,|.,S,=|,|,|sin(,),第三十九页，共44页。,而,S,=|,|,=,i,5,j,3,k,=(1,5,3),第四十页，共44页。,加法,零元素,负元素,减法运算,运算法则,交换律,分配律,数乘,向量之伸长与缩小,封闭性,向量空间,特例,向量子空间,向量组线性相关与线性无关,向量空间的基、维数,向量空间的基表示,向量张成子空间,内积,基本定义,运算法则,齐次性,对称性,线性,本身内积非负性,(由定义而定),向量模|,|,向量内积空间,正交性,正交规范基,任意一个基,Schmidt 正交化,向量,第四十一页，共44页。,精品课件,！,第四十二页，共44页。,精品课件,！,第四十三页，共44页。,三维向量,空间直角坐标系,空间中点,(,x,y,z,),xi,yj,zk,一种内积,向量间夹角,方向余弦与方向角,向量在轴上的投影,垂直关系,数量积,性质,分配律,交换律,平行关系,平面三角形面积计算,平行四边形面积计算,=0,|,|,向量积,基表示,Proj,u,u,0,/,u,轴,|u,0,|=1,u,0,第四十四页，共44页。,
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