Mathematica基础数学实验课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,(2)mathematica5.0,版本的命令,LinearProgrammingc,A,b,L;,其中,b,和,L,为表,b=b1,s1,b2,s2,当,si=0,1,时,表示第,i,个约束取,=,;,L=u1,v1,u2,v2,表示决策变量,xi,的约束,ui,xi,vi(ui,和,vi,可以取,-,和,+,).,(3)mathematica5.0,版本中,被淘汰,的命令,ConstrainedMaxf,约束条件,约束变量,;,ConstrainedMinf,约束条件,约束变量,默认约束变量非负,.,(2)mathematica5.0版本的命令,1,几个可选项,:,WorkingPrecision,:,内部计算使用的有效数字位数,(,默认,16,位,);,AccuracyGoal,:,计算结果的绝对精度,(,默认,);,PrecisionGoal,:,计算结果的相对精度,(,默认,WorkingPrecision,的一半,);,MaxIterations,:,最大迭代次数,(,默认,100).,2.,求解非线性规划的命令,(5.0,以上版本,):,NMaximizef,x1,x2,(,也称无约束极值,),NMinimizef,x1,x2,(,也称无约束极值,),NMaximizef,约束条件,x1,x2,NMinimizef,约束条件,x1,x2,几个可选项:2.求解非线性规划的命令(5.,2,输入,:,c=3,5;,A=1,3,1,1;,b=3,2;,LinearProgrammingc,A,b,例,1,求解线性规划,:,min 3x+5y,st x+3y,3,x+y2,x,y0,输出,:,只输出最优解,不输出最优值,.,欲求最优值,再输入,:,c.%,输入:例1 求解线性规划:输出:只输出最优解,不输出最优值,3,例,2,求解线性规划,:,max -2x+10y,st x-y,0,-x+5y5,x,y0,输入,:,c=-2,10;,A=1,-1,1,-5,;,b=0,-5,;,LinearProgramming,-,c,A,b,输出,:,欲求最优值,再输入,:,-c.%,例2 求解线性规划:输入:输出:欲求最优值,再输入:,4,例,3,输入,LinearProgramming-3,2,-1,-1,2,2,-1,4,输出,LinearProgramming:lpsnf:No solution can be found that satisfies the constraints.(,无可行解,),例,4,输入,LinearProgramming2,-3,1,1,1,-1,1,-1,2,0,-1,1,-1,1,输出,1,-1,例3 例4,5,例,5,输入,NMaximizex/(1+Expx),x,输出,0.278465,x-1.27846,例,6,输入,NMinimizeCosx-Expx y,x2+y20.795976,y-0.605328,程序,1,例5 输入例6 输入程序1,6,练习,:,1.,求,投资策略问题,的解,.,2.,计算,拌合场选址问题,的近似解,.,(,注意,:,迭代次数超过,1000),或求,供应问题,的解,.,程序,2,程序,3,练习:1.求投资策略问题的解.2.计算拌合场选址问题的近,7,线性规划模型及其解法,在前面我们介绍了一般的最优化问题的数学模型,即,min,z,=,f,(,x,),s.t.,g,i,(,x,)0,i,=1,2,m,其中对目标函数,z,=,f,(,x,),可以是求最小,(min),也可以是求最大,(max).,约束条件,g,i,(,x,)0,i,=1,2,m,界定了,x,R,n,的范围,我们称为模型的可行解区域,简称,可行域,.,属于可行域的,x,(,R,n,),称为,可行解,.,满足,min,z,=,f,(,x,),的可行解才是模型的解,称为,最优解,.,最优解对应的目标函数值称为,最优值,.,有些约束优化问题用无约束方法求得的解满足约束条件,此时的最优解必为可行域的内部点,但是大多数的约束优化问题的最优解是在可行区域的边界上,当然我们应该寻求不同约束优化模型的一般解法,.,线性规划模型及其解法 在前面我们介绍了一般的最,8,如果函数,f,(,x,),和,g,i,(,x,),均为线性函数时,被称为,线性规划,(,Linear Programming,简记为,LP,),模型,;,否则,被称为,非线性规划,(,Nonlinear Programming,简记为,NLP,),模型,.,我们还是先引入具体的实例模型,分别讨论其形式及其解法,.,生产计划问题,某厂生产甲乙两种口味的饮料,生产每百箱甲饮料需用原料,6kg,工人,10,名,可获利,10,万元,;,生产每百箱乙饮料需用原料,5kg,工人,20,名,可获利,9,万元,;,现该厂共有原料,60kg,工人,150,名,又由于其它条件的限制,甲饮料产量不得超过,8,百箱,.,问应如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少可使获利最大,.,进一步讨论以下问题,:,一般地,我们称约束优化模型为,数学规划模型,.,如果函数f(x)和gi(x)均为线性函数,9,2),若每百箱甲饮料获利可增加,1,万元,是否应改变生产计划,;,3),如果以百箱为最小生产单位,怎么办,?,这个问题的数学模型很容易建立,.,决策变量是甲乙两种饮料的产量,分别记作,x,1,x,2,(,以百箱为单位,但可以是小数,).,目标函数是所获总利润,约束条件是原料、工人和对甲饮料产量的限制,则有,max,z,=10,x,1,+9,x,2,s.t.6,x,1,+5,x,2,60,10,x,1,+20,x,2,150,x,1,8,x,1,x,2,0,这是一个非常简单的,LP,模型,.,1),若投资,0.8,万元可增加原料,1kg,是否应作这项投资,;,2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,是否应改变生产,10,对于进一步讨论的问题为,:,1),考察将原料数量改为,61kg,后的最优值,是否比原问题的最优值高出投资额,(0.8,万元,);,即原料数量改变,1,个单位时,目标函数,(,总利润,),的变化量,它度量了这种资源的价值,经济学上称为,影子价格,.,2),是将目标函数,z,=10,x,1,+9,x,2,改为,z,=11,x,1,+9,x,2,这样一来,最优解是否有变化,;,这个问题是对,LP,目标函数数据的,灵敏度分析,.,3),附加了解的整数性质,成为,整数,(,线性,),规划,(,Integer Programming,简记为,IP,),问题,.,由于这个问题仅有两个变量,其求解方法可以采用图解法,并由此引出线性规划的一般求解方法,单纯形,(,Dantzig,),方法,和,Mathematica,程序,.,对于进一步讨论的问题为:由于,11,0,x,1,x,2,10,x,1,+20,x,2,=150,6,x,1,+5,x,2,=60,x,1,=8,10,x,1,+9,x,2,=0,10,x,1,+9,x,2,=67.5,10,x,1,+9,x,2,=80,(0,7.5),(8,0),(8,2.4),对图的分析发现最优解应该是直线,10,x,1,+20,x,2,=150,和,6,x,1,+5,x,2,=60,的交点,最优值为,模型求解,我们先用图解法讨论,LP,模型的解,.,0 x1x210 x1+20 x2=1506x1+5x2=60 x1,12,O,x,1,x,2,10,x,1,+20,x,2,=150,6,x,1,+5,x,2,=60,x,1,=8,10,x,1,+9,x,2,=67.5,(8,0),(8,2.4),(0,7.5),从图上我们进行试算,10,5+9,5=95,10,6+9,4=96,我们再用图解法讨论,IP,模型的解,.,数学规划模型的图解方法只是为我们在直观上提示了一种求解的思路,当然不能作为普遍问题的解法,.,线性规划模型有一种非常好的解法,单纯形方法,.,10,7+9,3=97,10,8+9,2=98,所以整数最优解为,(8,2),最优值为,98.,Ox1x210 x1+20 x2=1506x1+5x2=60 x1,13,单纯形方法是以线性代数的知识为基础建立的算法,我们不对此方法作介绍,.,只需掌握,Mathematica,解线性规划的程序命令,.,线性规划的对偶规划问题,考虑一般线性规划,:,其中,c,为,n,维行向量,x,为,n,维列向量,A,为,m,n,矩阵,b,为,m,维列向量,.,Min,cx,s.t,Ax,b,(LP),x,0,线性规划,:,Max,yb,s.t,yA,c,(DLP),y,0,为,原问题,(LP),的对偶规划,(DLP),其中,y,为,m,维行向量,.,单纯形方法是以线性代数的知识为基础建立的算法,14,定理,:,(1)(LP),有最优解当且仅当,(DLP),有最优解,且最优值相等,;(2)(LP),最优值无界当且仅当,(DLP),无可行解,;(3)(LP),无可行解当且仅当,(DLP),最优值无界,.,如生产计划问题,:,max,z,=9,x,1,+10,x,2,s.t.6,x,1,+5,x,2,60,10,x,1,+20,x,2,150,x,1,8,x,1,x,2,0,其对偶规划问题为,:,min,u,=60,y,1,+150,y,2,+8,y,3,s.t.6,y,1,+10,y,2,+,y,3,9,5,y,1,+20,y,2,10,y,1,y,2,y,3,0,线性规划,(LP),与其对偶规划,(DLP),有如下结论,:,定理:(1)(LP)有最优解当且仅当(D,15,1.57143,0.0571429,0,u,min,=102.857,生产计划问题的对偶规划的最优解为,:,这与我们单独讨论生产计划问题中增加一吨原料和增加一名工人所产生的利润增加值是一致的,且最优值相等,.,实际上,在一般的生产计划问题中,其对偶规划的解就是经济学中的,影子价格,问题,.,1.57143,0.0571429,0,umin,16,下面我们看一个稍复杂一点的例子,投资策略问题,某部门现有资金,10,万元,五年内有以下投资项目供选择,:,项目,A,:,从第一年到第四年每年初投资,次年末收回本金且可获利,15%;,项目,B,:,第三年初投资,第五年末收回本金且可获利,25%,最大投资额为,4,万元,;,项目,C,:,第二年初投资,第五年末收回本金且可获利,40%,最大投资额为,3,万元,;,项目,D,:,每年初投资,年末收回本金且可获利,6%.,如何确定投资策略使第五年末的本息总额最大,.,问题的目标函数是第五年末的本息总额,决策变量是每年初各个项目的投资额,约束条件是每年初所拥有的资金,.,下面我们看一个稍复杂一点的例子,17,用,x,ij,表示第,i,年初,(,i,=1,2,5),项目,j,(,j,=1,2,3,4,分别代表,A,B,C,D),的投资额,列表确定需要求解的,x,ij,.,因项目,D,每年初可以投资且年末能收回本金,所以每年初应把全部资金投出去,由此可得约束条件,:,第一年初,:10,万元资金全部投向,A,和,D,有,x,11,+,x,14,=10,第二年初,:,拥有的资金为第一年,D,的,x,14,收回的本息,全部投向,A,C,D,有,x,21,+,x,23,+,x,24,=1.06,x,14,用xij表示第 i年初(i=1,2,18,第三年初,:,拥有的资金为第一年,A,的,x,11,和第二年,D,的,x,24,收回的本息,全部投向,A,B,D,有,x,31,+,x,32,+,x,34,=1.15,x,11,+1.06,x,24,第四年初,:,类似地有,x,41,+,x,44,=1.15,x,21,+1.06,x,34,第五年初,:,x,54,=1.15,x,31,+1.06,x,44,此外项目,B,C,对投资额