4运筹学目标规划讲义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目标规划,Goal Programming,2,本章,主讲内容,目标规划问题及其数学模型（重点掌握）,求解,GP,的思路,目标规划的图解法,目标规划的单纯形法,目标规划问题及其数学模型,线性规划的局限性,只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。,线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。,线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。,线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。,实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标,生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等；,生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等。,这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，,LP,则无能为力。,求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。,在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。,目标规划（,Goal Programming,）,目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。,在,LP,的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。,美国经济学家查恩斯(,A.,Charnes,),和库柏(,W.W.Cooper),在1961年出版的管理模型及线性规划的工业应用一书中，首先提出的。,多目标线性规划,含有多个优化目标的线性规划。,线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。,多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。,引例1,某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每种产品的技术,消耗定额及单位产品的利润如表所示。试确定计划期内的生产计划，使获得的利润最大。,产品,资源,甲,乙,现有资源,设备,4,3,24,单位产品利润,5,4,解,：,设,x,1,、x,2,分别,表示甲、乙两种产品的产量，则可建立线规划模型如下：,maxZ,=5,x,1,+4x,2,4,x,1,+3x,2,24,x,1,，x,2,0,假设,：,该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲产品的生产；,减少,乙产品的产量。,这时又增加了二个目标，则可建立如下的模型：,maxZ,1,=5,x,1,+4x,2,maxZ,2,=,x,1,minZ,3,=,x,2,4,x,1,+3x,2,24,x,1,，x,2,0,这些目标之间相互矛盾，,一般的线性规划方法不能求解,引例,2,某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见下表,产品,I,II,资源限量,原材料（,kg/,件）,5,10,60,设备工时（,h/,件）,4,4,40,利润（元/件）,6,8,设,产品,I,和,II,的产量分别为,X,1,和,X,2,，,当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为：,其最优,解，即最优生产计划为,X,1,=8，X,2,=2，,maxz,=64,假设计划人员还被要求考虑如下意见：,（1）由于产品,II,销售疲软，故希望产品,II,的产量不超过产品,I,的一半。,（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。,（3）最好能节约4小时设备工时；,（4）计划利润不少于48元。,面对这些意见，计划人员作出如下意见，,首先原材料使用额不得突破；产品,II,产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。,求解,GP,的思路,加权系数法,为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。,优先等级法,将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模型。,有效解法,寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。,目标规划法,加权系数法和优先等级法的结合,对每个目标函数确定一个希望达到的期望值,(目标值或理想值)；,由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到；,对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过或未达到目标值的情况；,为区别各目标的重要程度，引入目标的优先等级和加权系数；,对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件；,从这组新的约束条件，寻找使组合偏差最小的方案。,目标函数的期望值,每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。,根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。,偏差变量,每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差。,正偏差变量,d,k,+,表示第,k,个目标超过期望值的数值；,负偏差变量,d,k,-,表示,第,k,个目标未达到期望值的数值。,同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没有达到期望值，所以在,d,k,+,和,d,k,-,中至少有一个必须为零,。,目标规划的基本概念,目标约束,引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标,函数方程。,原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束),原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。,在引例题中，计划人员提出新要求,(1),由于产品,II,销售疲软，故希望产品,II,的产量不超过产品,I,的一半。（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。（3）最好能节约4小时设备工时；（4）计划利润不少于48元。,1/2,x,1,=x,2,x,1,-2x,2,+,d,1,-,-d,1,+,=,0,4,x,1,+4x,2,=,48,6x,1,+8x,2,+,d,3,-,-d,3,+,=,48,目标达成函数,各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。,如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。,这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。,若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量,d,k,+,、,d,k,-,都尽可能最小，将,d,k,+,和,d,k,-,都,列入目标函数中，即,minS,k,=,d,k,+,+,d,k,-,；,若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量,d,k,-,尽可能的小，而不关心超出量,d,k,+,，,故只需将,d,k,-,列入目标函数，,minS,k,=,d,k,-,；,若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量,d,k,+,尽可能地小，而不关心低于量,d,k,-,，,故只需将,d,k,+,列入目标函数，,minS,k,=,d,k,+,。,优先等级和权数,目标的重要程度不同，用优先等级因子,P,k,来表示第,k,等级目标。,优先等级因子,P,k,是正的常数，,P,k,P,k,+1,。,同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数,w,。,例如,第一个目标,:,由于产品,II,销售疲软，故希望产品,II,的产量不超过产品,I,的一半。其优先级为,P,1,；（4）。,第二个目标:最好能节约4小时设备工时是其优先级为,P,2,；,第三个目标：计划利润不少于48元,优先级为,P,3,。,minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,d,2,+,+P,3,d,3,-,所以，引例2的目标规划模型如下：,minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,d,2,+,+P,3,d,3,-,5x1+10 x2=60,x,1,-2x,2,+,d,1,-,-d,1,+,=,0,4,x,1,+4x,2,+,d,2,-,-d,2,+,=,36,6x,1,+8x,2,+,d,3,-,-d,3,+,=,48,引例1：,管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位，乙产品产量比甲,产品,多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量，则目标约束为：,5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,-d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,-d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,-d,3,+,=,3,-,x,1,+x,2,+,d,4,-,-d,4,+,=,2,目标达成函数,第一个目标是实现利润最大，其优先级为,P,1,；,第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为,P,2,；,第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为,P,3,。,假设：,甲,产品,产量希望不少于3单位的权数为3，,乙产品产量比甲,产品,多2单位的权数为5。,minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,(,d,2,-,+d,2,+,),+P,3,(3,d,3,-,+5 d,4,-,),minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,(,d,2,-,+d,2,+,),+P,3,(3,d,3,-,+5 d,4,-,),5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,-d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,-d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,-d,3,+,=,3,-,x,1,+x,2,+,d,4,-,-d,4,+,=,2,x,1,x,2,d,k,-,d,k,+,0,目标规划的数学模型,课堂练习：,电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。,该厂目标：,1、充分利用装配线，避免开工不足。,2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。,3、尽量满足市场需求（产品25寸的两倍重要于21寸的电视机）,。,解：设,X,1,X,2,分别表示25寸，21寸彩电产量,min,Z,=P,1,d,1,-,+P,2,d,2,+,+P,3,(2,d,3,-,+d,4,-,),X,1,+X,2,+d,1,-,-d,1,+,=40,X,1,+X,2,+d,2,-,-d,2,+,=50,X,1,+d,3,-,-d,3,+,=24,X,2,+d,4,-,-d,4,+,=30,X,1,X,2,d,i,-,d,i,+,0(i=1,2,3,4),目标规划的解法,目标规划的图解法,只含有两个决策变量的目标规划模型,线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。,目标规划的图解法的思路,首先是在可行域内寻找一个使,P,1,级各目标均满足的区域,R,1,；,然后再在,R,1,中寻找一个使,P,2,级各目标均满足的区域,R,2,(,R,2,R,1,)；,接着再在,R,2,中寻找一个满足,P,3,级各目标的区域,R,3,(,R,3,R,2,R,1,)；,如此继续，直到寻找到一个区域,R,K,(,R,K,R,K-1,R,3,R,2,R,1,)，,满足,P,K,级各目标，这时,R,K,即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。,目标规划的图解法的步骤,首先，按照绝对约束画出可行域，,其次，不考虑正负偏差变