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,14.3,因,式分,解,/,14.3,因,式分解,14.3.1,提,公因式法,人教,版 数学,八,年级 上册,14.3 因式分解人教版 数学 八年级 上册,我们知,道,，,利,用整式的乘法运,算,，,可,以将几个整式的积化为一个多项式的形,式,，,反,过,来,，,能,不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若,能,，,这,种变形叫做什么呢,？,导入新知,我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式,2.,理,解并掌握,提公因式法,并能熟练地运用提公因式法分解因式,.,1.,理,解,因式分解,的意义和概念及其与整式乘法的,区别,和联系,.,素养目标,3.,会,利用,因式分解,进行简便计算.,2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.,如图，一,块菜地被分成三部,分，你,能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？,a,b,c,m,方法一：,m,(,a,+,b,+,c,),方法二：,ma+mb+mc,m,(,a,+,b,+,c,)=,ma,+,mb,+,mc,整式乘法,?,探究新知,知识点,1,因式分解的概念,如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方,1.,运用整式乘法法则或公式填空：,(1),m,(,a+b+c,)=,；,(2)(,x,+1)(,x,1)=,；,(3)(,a+b,),2,=,.,ma+mb+mc,x,2,1,a,2,+2,ab,+,b,2,2.,根据等式的性质填空：,(1),ma+mb+mc,=()(),(2),x,2,1=()(),(3),a,2,+2,ab,+,b,2,=(),2,m a+b+c,x+,1,x,1,a+b,都是多项式化为几个整式的积的形式,比一,比，这,些式子有什么共同点？,探究新知,1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=,把,一个多项式化为几个,整式,的,乘积,的形,式，像,这样的式子变形叫做把这个多项式,因式分,解,，也,叫做把这个多项式,分解因式,.,探究新知,把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变,x,2,1 (,x,+1)(,x,1),因式分解,整式乘法,x,2,1,=,(,x,+1)(,x,1),等式的特征：左边是,多项,式,，右,边是,几个整式的乘积,整,式乘法与因式分解有什么关系？,是互为相反的变,形，,即,探究新知,想一想,x21,例,下列从左到右的变形中是因式分解的,有,(,),x,2,y,2,1,(,x,y,)(,x,y,)1,；,x,3,x,x,(,x,2,1),；,(,x,y,),2,x,2,2,xy,y,2,；,x,2,9,y,2,(,x,3,y,)(,x,3,y,),A1,个 B2个 C3个 D4个,B,方法总结：,因式分解与整式乘法是相反方向的变,形，即,互逆运,算，二,者是一个式子的不同表现形式,因式分解的右边,是两个或几个因式,积,的形,式，整,式乘法的右边是多项式的形式,素养考点,1,因式分解变形的识别,探究新知,例 下列从左到右的变形中是因式分解的有()B方法总结：,在,下列等式,中，从,左到右的变形是因式分解的有,.,不是因式分解的，请说明原因,.,am+bm+c,=,m,(,a+b,)+,c,24,x,2,y,=3,x,8,xy,x,2,1=(,x,+1)(,x,1),(2,x,+1),2,=4,x,2,+4,x,+1,x,2,+,x,=,x,2,(1,+,),2,x,+4,y,+6,z,=2(,x,+2,y,+3,z,),最后不是积的运算,因式分解的对象是,多项式,是整式乘法,每个因式必须是整式,巩固练习,在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有,pa+,p,b+,p,c,用提公因式法分解因式,多,项式中,各项,都含有的,相同因,式,，叫,做,这,个多项式的,公因式,.,相同因式,p,观,察下列多项,式，它,们有什么共同特点？,x,2,x,相同因式,x,知识点,2,探究新知,问题1：,pa+pb+pc用提公因式法分解因式 多项式中各项都含,一,般,地，如,果多项式的各项有公因,式，可,以把这个公因式提取出,来，将,多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形,式，这,种分解因式的方法叫做,提公因式法,.,(,a+b+c,),pa+,p,b+,p,c,p,=,探究新知,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这,找出,3,x,2,6,xy,的公因式,.,系数：,最大公约数,.,3,字母：,相同的,字母,.,x,所以这个算式的公因式,是,3,x,.,指数：,相同字母的最低,次数,.,1,如,何确定一个多项式的公因式？,探究新知,问,题,2,：,找出 3x 2 6xy 的公因式.系数：最大,找出,多项式的公因式的正确步骤,：,3.,定指数,：相同字母的指数取各项中最小的一,个，即,字母的最低次数,.,1.,定系数,：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数,.,2.,定,字母,：字母取多项式各项中都含有的相同的字母,.,探究新知,归纳总结,找出多项式的公因式的正确步骤：3.定指数：相同字母的指数取各,找一找,:,下列各多项式的,公因式,是什么？,3,a,a,2,2(,m+n,),3,mn,2,xy,(,1,),3,x,+6,y,(,2,),ab,2,ac,(,3,),a,2,a,3,(,4,),4(,m+n,),2,+,2(,m+n,),(,5,),9,m,2,n,6,mn,(,6,),6,x,2,y,8,xy,2,探究新知,找一找:下列各多项式的公因式是什么？3aa22(m+,(,1,),8,a,3,b,2,+12,ab,3,c,；,例,1,把下列各式分解因,式,.,分析：,提公因式法步,骤,(,分,两,步,),第,一步,:,找出公因式；,第,二步,:,提取公因式,，即,将多项式化为两个因式的乘积,.,(,2,),2,a,(,b,+,c,)3(,b,+,c,).,公因式既可以是一个,单项式,的形,式，也,可以是一个,多项式,的形式,.,整体思想,是数学中一种重要而且常用的思想方法,.,素养考点,1,利用提公因式法分解因式,探究新知,(1)8a3b2+12ab3c；例1 把下列各式分解,解,：,(1),8,a,3,b,2,+12,ab,3,c,=4,ab,2,2,a,2,+4,ab,2,3,bc,=,4,ab,2,(2,a,2,+3,bc,),；,如果提出公因式,4,ab,，另,一个因式是否还有,公,因,式,？,另一个因式将是,2,a,2,b,+3,b,2,c,，,它还有公因式是,b,.,(2),2,a,(,b,+,c,)3(,b,+,c,),=(,b,+,c,)(2,a,3).,如何检查因式分解是否正确？,做整式乘法运算,.,探究新知,解：(1)8a3b2+12ab3c如果提出公因式4ab,因式分解,：,(1),3,a,3,c,2,12,ab,3,c,；,(2),2,a,(,b,c,)3(,b,c,),；,(3),(,a,b,)(,a,b,),a,b,.,(3),原式,(,a,b,)(,a,b,1),解,：,(1),原,式,3,ac,(,a,2,c,4,b,3,),；,(2),原式,(2,a,3)(,b,c,),；,巩固练习,因式分解：(3)原式(ab)(ab1)解：(1)原,把,12,x,2,y,+18,xy,2,分解因式,.,解：,原式,=,3,xy,(4,x,+,6,y,).,错误,公因式,没有提,尽，还,可以提出公因式,2,.,注意：,公因式要,提尽,.,正解：,原式,=,6,xy,(2,x,+3,y,).,小,明,的,解法,有误吗？,巩固练习,把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是,1.,错误,注意：,某项提出莫漏,1,.,解：,原式,=,x,(3,x,6,y,).,把,3,x,2,6,xy,+,x,分解因式,.,正解,：,原式,=,3,xx,6,yx,+1,x,=,x,(3,x,6,y,+1),小,亮的,解法,有误吗？,巩固练习,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误,提出,负号时括号里的项没变,号,.,错误,把,x,2,+,xy,xz,分解因式,.,解：,原式,=,x,(,x,+,y,z,).,注意：,首项有负常,提负,.,正解,：,原式,=,(,x,2,xy,+,xz,),=,x,(,x,y,+,z,),小,华,的,解法,有误吗？,巩固练习,提出负号时括号里的项没变号.错误把 x2+xy,提,取,公因式分解,因式的技巧：,当公因式是多项式,时，把,多项式看成,一个整体,提取公因式；分解因式,分,解,到,不能分解,为止；某一项全部提取,后，不,要,漏掉,“,1,”,；首项有负,号常提,负号,；,检查因式分解的结果是否正,确，可,用,整式的乘法验,证,.,归纳总结,探究新知,提取公因式分解因式的技巧：归纳总结探究新知,例,2,计算：,(,1,),39371391,；,(,2,),2920.16,7220.16,1320.1620.1614,.,(2),原,式,20.16,(29,72,1314),2016.,1320,260,；,解,：,(1),原,式,313371391,13,(33791),方法总结：,在计算求值,时，若,式子各项都含有公因,式，用,提取公因式,的方法可使运算简便,素养考点,2,利用因式分解进行简便运算,探究新知,例2 计算：(2)原式20.16(2972131,=259,=,9900,(,1,),99,2,99,(,2,),=,99,(99+1),简便,计,算,.,巩固练习,解：,原式,=99,99+99,解,：,原式,=,13.80.125+86.20.125,=,0.125,(13.8+86.2),=0.125100,=,12.5,=259 =9900(1)99299(2)=9,例,3,已知,a,b,7,，,ab,4,，求,a,2,b,ab,2,的值,原式,ab,(,a,b,),47,28.,解：,a,b,7,，,ab,4,，,方法总结：,含,a,b,，,ab,的求值,题，通,常要将所求代数式进行,因式分,解,，将,其变形为能用,a,b,和,ab,表示的式,子，然,后将,a,b,，,ab,的值整体带入即可,.,素养考点,3,利用因式分解求整式的值,探究新知,例3 已知ab7，ab4，求a2bab2的值,已,知,a,+,b,=5,，,ab,=3,，求,a,2,b,+,ab,2,的值,.,解,:,a,2,b,+,ab,2,=,ab,(,a,+,b,),=,3 5,=,15,巩固练习,已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.解:a2,1,.,分解,因式：,a,2,5,a,=,_,2,.,若,a,+,b,=4,，,ab,=1,，,则,a,2,b,+,ab,2,=,解析：,a,+,b,=4，,ab,=1，,a,2,b,+,ab,2,=,ab,(,a,+,b,),=,14,=,4,a,(,a,5,),4,连接中考,1.分解因式：a25a=_2.若a,1.,多项式,15,m,3,n,2,+5,m,2,n,20,m,2,n,3,的公因式,是,(,),A5,mn,B5,m,2,n,2,C5,m,2,n,D 5,mn,2,2,.,把,多项,式,(,x,+2)(,x,2)+(,x,2),提,取公因,式,(,x,2),后，余,下的部分,是,(,),A,x,+1 B,2,x,C,x,+2 D,x,+3,3.,下列多项式的分解因,式，正,确的,是,(,),A12,xyz,9,x,2,y,2,=3,xyz,(,4,3,xyz,),B3,a,2,y,3,ay,+6,y,=3,y,(,a,2,a,+2,),C,x,2,+,xy,xz,=,x,(,x,2,+,y,z,),D,a,2,b,+5,ab,b,=,b,(,a,2,+5,a,),B,C,D,课堂检测,基础巩固题,1.多项式15m3n2+5m2n20m2n3的公因式是(,4.,把下列各式分解因式：,(1),分解,因式,：,m,2,3,m
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