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,1.2.1 排 列,1.2.1 排 列,复习：,解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有,1,种走法。,第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有,22=4,种走法。,由分类计数原理：,1+4=5,从甲村到乙村有,2,条旱路，一条水路，从乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共有多少种不同的走法？,什么是分类计数原理，分步计数原理。,答：共有,5,种不同的走法。,复习：解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水路到乙村，再,分类计数原理,(,加法原理,),完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法，在第,2,类办法中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事共有：,种不同的方法,分步计数原理（乘法原理）,完成一件事，需要分成,n,个步骤，做第,1,步有,m,1,种不同的方法，做第,2,步有,m,2,种不同的方法，,，做第,n,步有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事共有：,种不同的方法,分类计数原理与“分类”有关，各种方法,相互独立,，,用其中任何一种方法都可以完成这件事；,分步计数原理与“分步”有关，各个步骤,相互依存,，,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,分类计数原理(加法原理)分步计数原理（乘法原理）完成一件,问题,1,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,我们把上面问题中被取的对象叫做,元素,于是所提出的问题就是从,3,个不同的元素中任取,2,个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法,问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，,问题,2,从,a,、,b,、,c,、,d,这四个字母中，取出,3,个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？,解决这个问题，需分,3,个步骤：,第,1,步，先确定左边的字母，在,4,个字母中任取,1,个，有,4,种方法；,第,2,步，确定中间的字母，从余下的,3,个字母中去取，有,3,种方法；,第,3,步，确定右边的字母，只能从余下的,2,个字母中去取，有,2,种方法,根据分步计数原理，共有,432,24,问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,一个排列,注意：,1.,我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既,没有重复元素,，,也没有重复抽取相同的元素,2.,排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”“,一定顺序,”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志,3.,根据排列的定义，,两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同,也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列,4.,如果,m,n,，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做,选排列,；如果,m,n,，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做,全排列,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的,【,总结提炼,】,排列问题，是取出,m,个元素后，还要,按一定的顺序,排成一列，取出同样的,m,个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）,由排列的定义可知，,排列与元素的顺序有关,，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列,【总结提炼】,练习 1：,下列问题是排列问题吗？,（,1,）从,1,，,2,，,3,，,4,四个数字中，任选两个做加法，其,不同,选择有多少种？,（,2,）从,1,，,2,，,3,，,4,四个数字中，任选两个做除法，其,不同,选择有多少种？,（,3,）从,1,到,10,十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？,（,4,）平面上有,5,个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？,（,5,）,10,个学生排队照相，则不同的站法有多少种？,（从中归纳这几类问题的区别）,是排列,不是排列,是排列,是排列,不是排列,是排列,练习 1：下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数,练习3：,写出从5个元素,a，b，c，d，e,中任取2个元素的,所有排列,解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共,20,个,若把这题改为：写出从,5,个元素,a,，,b,，,c,，,d,，,e,中任取,4,个元素的所有排列，结果如何呢？,方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”,练习2:,在,A、B、C、D,四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果,AB AC AD BC BD CD,BA CA DA CB DB DC,研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个问题：,排列数及其公式,练习3：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的解决,1,排列数的定义,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素的所有排列的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数，记作,注意区别“一个排列”与“排列数”的不同,：,“一个排列”是指“从,n,个不同元素中，任取,m,个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数；,“,排列数”是指“从,n,个不同元素中取出,m,个元素的所有排列的个数”，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列,1排列数的定义 注意区别“一个排列”与“排列数”的不同,2,排列数公式,这里,m,、,n,且,m,n,，这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点：,（,1,）第一个因数是,n,，后面每一个因数比它前面一个因数少,1,（,2,）最后一个因数是,n,m,1,（,3,）共有,m,个因数,正整数,1,到,n,的连乘积，叫做,n,的阶乘，用,n!,表示。,当,m=n,时,选排列数,2排列数公式 这里m、n,例,1.,计算,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解：（,1,）,（,2,）,（,3,）,例1.计算 （2）（3）解：（1）,例2,计算：,6,！,=654321=720,例2 计算：6！=654321=720,例,3,某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？,例4,（1）有5,本,不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？,（,2,）有,5,种,不同的书，要买,3,本送给,3,名同学，每人各,1,本，共有多少种不同的送法？,注意区分“,本,”与“,种,”,元素不可重复,元素可重复,例3 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要,练习,有,5,名男生，,4,名女生排队。,（,1,）从中选出,3,人排成一排，有多少 种排法？,（,2,）全部排成一排，有多少种,排法？,（,3,）排成两排，前排,4,人，后排,5,人，有多少种排法？,注：与（,2,）同解,练习 注：与（2）同解,例,4,某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次,可以任挂一面、二面或三面,，并且,不同的顺序表示不同的信号,，一共可以表示多少种不同的信号？,即有分类，又有分步,例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示,例,5,用,0,到,9,这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解法一：对排列方法,分步思考,。,百位,十位,个位,百位是“特殊位置”，,特殊位置要特殊（优先）处理。,例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数,解法二：对排列方法,分类思考,。,符合条件的三位数可分为两类：,百位,十位,个位,0,百位,十位,个位,0,百位,十位,个位,根据加法原理,分析：由,0,的位置分类：,1,类：,0,在个位,2,类：,0,在十位,3,类：,0,不在个,.,十位,0,是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。,解法二：对排列方法分类思考。百位十位个位0百位十位个位0百位,解法三：,间接法,.,求总数：从,0,到,9,这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，,所求的三位数的个数是,求以,0,为排头的排列数为,.,从总数中去掉不合条件的排列的种数,解法三：间接法.求总数：从0到9这十个数字中任取三个数字,例6:5个人站成一排.,（l）共有多少种不同的排法？,（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？,（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？,（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？,解：（,1,）由于没有条件限制，,5,个人可作全排列，有,（,2,）由于甲的位置已确定，其余,4,人可任意排列，有,（,3,）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他,3,人排列有,而甲、乙又有,根据分步计数原理共有,（捆绑法）,（,4,）甲、乙两人外的其余,3,人先排有,要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有,所以共有 种排法,或用（,1,）（,3,）（间接法）,（插空法）,例6:5个人站成一排.解：（1）由于没有条件限制，5个人,（,5,）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？,（,6,）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？,（,5,）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余,3,人中选,2,人来站有,剩下的人有,共有,（特殊位置）,或,：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两人可从中间,3,个位置中选,2,个来站有,剩下的人有,共有,（特殊元素）,（,6,）甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有 种排法，故共有,（间接法）,思考：用直接法如何解？,（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？（5）,例7解方程,。,解：原方程可化为,2x(2x-1)(2x-2)=100 x(x-1),x0,x1,2x-1=25,解得,x=13,经检验,x=13,是原方程的根。,例8证明：,。,证明：右边,例7解方程。解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2),【,演练反馈,】,1,4,辆不同公交车，有,4,位司机，,4,位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？,2,由数字,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,可以组成多少个没有重复数字的正整数？,3,20,位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？,【演练反馈】,4.7,人坐两排座位，第一排坐,3,人，第二排坐,4,人，不同的坐法有多少种？,5,、在,100,名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？,把两排看作一排来处理,99,6,、一条铁路原有,n,个车站，为适应客运需要，新增加了,m,个车站，客运 车票增加了,62,种，问原有多少个车站，现有多少个车站？,4.7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，不同的坐,【,演练反馈,】,1,某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？,【演练反馈】,认真审题，根据题意分析它属什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法；,弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。,恰当分类，合理分步。,解排列应用问题时应注意以下几点：,解排列应用问题时应注意以下几点：,
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