初一奥数几何图形的计数问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,七年级奥数,七年级奥数,1,几何图形的计数问题,主讲：刘文峰,几何图形的计数问题主讲：刘文峰,2,专题简析,在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算,线段的条数,，满足某种条件的,三角形的个数,，若干个图分平面所成的,区域数,等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真,分析,，还是可以找到一些处理方法的常用的方法有,枚举法、加法原理,和,乘法原理法,以及,递推法,等,专题简析在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满,3,例1、,如图165所示，,数一数图中有多少条不同的线段？,例1、如图165所示，数一数图中有多少条不同的线段？,4,解：,对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：,(1)、,以A为左端点的线段有：,AB，AC，AD，AE，AF共5条；,(2)、,以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；,(3)、,以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；,(4)、,以D为左端点的线段有DE，DF共2条；,(5)、,以E为左端点的线段只有EF一条,所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条),一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为：,n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2,解：对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以,5,例2、,图166,中有多少个三角形？,例2、图166中有多少个三角形？,6,解：,以OA为一边的三角形有OAB，OAC，OAD，OAE，OAF共,5,个；,以OB为一边的三角形还有,4,个(,前面已计数过的不再数，下同),，它们是OBC，OBD，OBE，OBF；,以OC为一边的三角形有,OCD,，,OCE,，,OCF,共,3,个；,以OD为一边的三角形有ODE，ODF共,2,个；,以OE为一边的三角形有OEF一个,所以，共有三角形,5+4+3+2+1=15(个),说明：,其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为：,n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.,解：以OA为一边的三角形有OAB，OAC，OAD，O,7,例3、,(1)、,图167,中一共有多少个长方形？,(2)、所有这些长方形的面积和是多少？,例3、,8,解：,(1),图中长的一边有5个分点(包括端点)，,所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条),同样，宽的一边上不同的线段也有10条,所以，共有长方形1010=100(个),(2),因为长的一边上的10条线段长分别为,5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，,宽的一边上的10条线段长分别为,2，6，13，16，4，11，14，7，10，3,所以，所有长方形面积和为,(52+56+53)+(172+176+173)+(12+16+13),=(5+17+1)(2+6+3)=14486=12384,解：(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，,9,例4、,图168,中共有多少个三角形？,例4、图168中共有多少个三角形？,10,解：,显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即ABC)，,第二大的三角形有1+2=3(个)，,第三大的三角形有1+2+3=6(个)，,第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，,第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，,最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个),我们的计数是有规律的当然，要注意在ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，,所以最小的三角形不是21个而是24个,于是尖向上的三角形共,1+3+6+10+15+24=59(个),图中共有三角形,592=118(个),解：显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数,11,例5、,图169,中有多少个等腰直角三角形？,例5、图169中有多少个等腰直角三角形？,12,解：,图169,中有55+44=41个点在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此，共有等腰直角三角形,48+516+64+104+84+114+161,=268(个),解：图169中有55+44=41个点在每点标一个数，,13,例6、,(1)、,图170(a)中有多少个三角形？,(2)、,图170(b)中又有多少个三角形？,例6、(1)、图170(a)中有多少个三角形？,14,解：,(1),图170(a),中有6条直线一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了,从6条直线中选3条，,有 种选法(,见说明,)，,每次选出的3条直线围成一个三角形，,但是在图,170(a),中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，,共有,20-3=17个,三角形,解：,15,(2)、,图1-70(b),中有7条直线，从7条直线中选3条，有,765/6=35,种选法每不过同一点的3条直线构成一个三角形,图170(b),中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，,即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，,所以，,图170(b),中的三角形个数是：,35-2-4=29(个),(2)、图1-70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有,16,说明,：,从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有65种选法但是每一种被重复算了一次，例如l,1,l,2,与l,2,l,1,实际上是同一种，所以，不同的选法是652=15种,从6条直线中选3条，,第一条有6种选法，,第二条有5种选法，,第三条有4种选法，共有654种选法,但是每一种被重复计算了6次，,例如，1,1,1,2,1,3,，1,1,1,3,1,2,，1,2,1,1,1,3,，1,2,1,3,1,1,，1,3,1,1,1,2,，1,3,1,2,1,1,实际上是同一种，,所以，不同的选法应为,654/6=20种,说明：从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法,17,例7,、,问8条直线最多能把平面分成多少部分？,例7、问8条直线最多能把平面分成多少部分？,18,解、,1条直线最多将平面分成2个部分；,2条直线最多将平面分成4个部分；,3条直线最多将平面分成7个部分；,现在添上第4条直线它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，,如图171,，所以,4条直线最多将平面分成,7+4=11个部分,5条直线最多将平面分成,11+5=16个部分；,6条直线最多将平面分成,16+6=22个部分；,7条直线最多将平面分成,22+7=29个部分；,8条直线最多将平面分成,29+8=37个部分,所以，8条直线最多将平面分成37个部分,说明一般地，n条直线最多将平面分成,2+2+3+n=(n2+n+2)个部分,解、1条直线最多将平面分成2个部分；,19,例8、,平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？,例8、平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？,20,解：,1,个圆最多能把平面分成,2个部分,；,2,个圆最多能把平面分成,4个部分；,3,个圆最多能把平面分成,8个部分,；,现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点,如图172,所示因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，,4,个圆最多将平面分成8+6=14个部分,5,个圆最多将平面分成,14+8=22个部分,所以，5个圆最多将平面分成22个部分,解：1个圆最多能把平面分成2个部分；,21,说明：,用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为：,2+12+22+(n-1)2,=2+2,1+2+(n-1),=n -n+2,2,说明：用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分,22,例9、,平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？,例9、平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？,23,解、,首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分现在加入一条直线由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分所以，总共增加了10个部分,因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成,22+10=32个部分,解、首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分,24,例10、,平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？,例10、平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部,25,解：,首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分,现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分,因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成：,16+10=26个部分,解：首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分,26,例11、,三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？,例11、三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C,27,解：,设ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pm之后的情况：,(1)、,若点Pn在某个小三角形的内部，,如图173(a)，,则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；,(2)、,若点P,n,在某两个小三角形公共边上，,如图173(b),则这两个小三角形的顶点连同点P,n,将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形,所以，,ABC,内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为：,a,n,=a,n-1,+2,已知a,0,=1，于是a,1,=a,0,+2，a,2,=a,1,+2，a,n,a,n-1,+2,将上面这些式子相加，得,a,n,=2,n,+1,所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成,21999+1=3999个小三角形,解：设ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小,28,1填空：,(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出_条,(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_个,(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_个,(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_,(5)平面上10条直线最多能把平面分成_个部分,(6)平面上10个圆最多能把平面分成_个区域,1填空：,29,2有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？,3图174中有多少个三角形？,4图175中有多少个梯形？,5在等边ABC所在平面上找到这样一点P，使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？,6平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能