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单击此处编辑母版文本样式,返回导航,第三章函数的概念与性质,单击此处编辑母版标题样式,第三章 函数的概念与性质,3.2函数的基本性质,3.2.2奇偶性,第一课时 函数的奇偶性,第三章 函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2,【素养目标】,1,理解奇函数、偶函数的概念,(,数学抽象,),2,掌握判断某些函数奇偶性的方法,(,逻辑推理,),3,掌握奇偶函数的图象特征,(,直观想象,),4,会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性,(,逻辑推理,),【素养目标】,【学法解读】,1,学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系,2,学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于,y,轴的轴对称,【学法解读】,必备知识,探新知,关键能力,攻重难,课堂检测,固双基,素养作业,提技能,必备知识探新知关键能力攻重难课堂检测固双基素养作业提,必备知识,探新知,必备知识探新知,函数的奇偶性,基础知识,知识点,1,f,(,x,),f,(,x,),偶函数,奇函数,函数的奇偶性 基础知识知识点1f(x)f(x)偶函数,思考,1,：,(1),如果定义域内存在,x,0,，满足,f,(,x,0,),f,(,x,0,),，函数,f,(,x,),是偶函数吗？,(2),函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的,x,，满足,f,(,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(,x,),，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？,提示：,(1),不一定，必须对于定义域内的任意一个,x,都成立,(2),奇、偶函数的定义域关于原点对称,思考1：(1)如果定义域内存在x0，满足f(x0)f(x,图象特征,(1),偶函数的图象关于,_,轴对称,(2),奇函数的图象关于,_,对称,思考,2,：,奇函数图象一定过原点吗？,提示：,若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有意义，则,f,(0),0,，图象经过原点；若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处无意义，图象就不经过原点,y,知识点,2,原点,图象特征y 知识点2原点,1,下列图象表示的函数具有奇偶性的是,(,),B,基础自测,1下列图象表示的函数具有奇偶性的是()B 基础自测,2,下列函数是偶函数的是,(,),A,y,2,x,2,3,B,y,x,3,C,y,x,2,，,x,0,1,D,y,x,解析,对于,A,：,f,(,x,),2(,x,),2,3,2,x,2,3,f,(,x,),，所以,f,(,x,),是偶函数，,B,，,D,都为奇函数，,C,中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性,A,2下列函数是偶函数的是()A,B,B,4,已知,y,f,(,x,),，,x,(,a,，,a,),，,F,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),，则,F,(,x,),是,(,),A,奇函数,B,偶函数,C,既奇又偶函数,D,非奇非偶函数,解析,f,(,x,),f,(,x,),F,(,x,),又,x,(,a,，,a,),关于原点对称，所以,F,(,x,),是偶函数,B,4已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x),新教材2020-2021学年3,关键能力,攻重难,关键能力攻重难,题型一函数奇偶性的判断,题型探究,例,1,题型一函数奇偶性的判断题型探究 例 1,分析,(1),函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？,(2),判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？,分析(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？,新教材2020-2021学年3,新教材2020-2021学年3,归纳提升,判断函数奇偶性的方法,(1),定义法：,(2),图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于,y,轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中,归纳提升判断函数奇偶性的方法,新教材2020-2021学年3,新教材2020-2021学年3,(3),显然函数,f,(,x,),的定义域关于原点对称,当,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,),x,2,x,(,x,x,2,),f,(,x,),，,当,x,0,，,f,(,x,),x,x,2,(,x,2,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),，,函数,f,(,x,),为奇函数,(4),由于,f,(,x,),0,f,(,x,),，且,f,(,x,),0,f,(,x,),，,f,(,x,),0,既是奇函数，又是偶函数,(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称,(5),函数,f,(,x,),2,x,1,的定义域为,R,，关于原点对称,f,(1),3,，,f,(,1),1,，,f,(1),3,，,f,(,1),f,(1),，,y,2,x,1,不是偶函数，,又,f,(,1),f,(1),，,y,2,x,1,不是奇函数，,y,2,x,1,既不是奇函数，又不是偶函数,(6),函数,f,(,x,),的定义域为,(,，,1),(1,，,),，不关于原点对称，故函数,f,(,x,),不具有奇偶性,(5)函数f(x)2x1的定义域为R，关于原点对称,设奇函数,f,(,x,),的定义域为,5,5,，若当,x,0,5,时，,f,(,x,),的图象如图所示，求不等式,f,(,x,)0,的解集,分析,利用奇函数图象的对称性，画出函数,f,(,x,),在,5,0,上的图象，再根据图象写出不等式,f,(,x,)0,的解集,题型二奇偶函数图象的应用,例,2,设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5,解析,因为函数,f,(,x,),是奇函数，所以函数,f,(,x,),在,5,，,5,上的图象关于原点对称根据,f,(,x,),在,0,5,上的图象画出在,5,0,上的图象，如图中虚线所示由图象知不等式,f,(,x,)0,的解集为,x,|,2,x,0,或,20,时的图象,【对点练习】已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且,解析,(1),由题意作出函数图象如图：,(2),据图可知，单调增区间为,(,1,0),，,(1,，,),解析(1)由题意作出函数图象如图：,已知函数,y,f,(,x,),的图象关于原点对称，且当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,3.,试求,f,(,x,),在,R,上的表达式,分析,(1),如何把,(,，,0),上的未知解析式转移到,(0,，,),上的已知解析式？,(2),奇函数,f,(,x,),在,x,0,处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知,y,f,(,x,),是奇函数利用奇函数性质可求得解析式,题型三利用函数的奇偶性求解析式,例,3,已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(,新教材2020-2021学年3,归纳提升,利用函数奇偶性求函数解析式,利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式,f,(,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(,x,),成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为,x,，然后把,x,转化为,x,(,另一个已知区间上的解析式中的变量,),，通过适当推导，求得所求区间上的解析式,归纳提升利用函数奇偶性求函数解析式,【对点练习】,已知,f,(,x,),是,R,上的偶函数，当,x,(0,，,),时，,f,(,x,),x,2,x,1,，求,x,(,，,0),时，,f,(,x,),的解析式,解析,设,x,0,，,f,(,x,),(,x,),2,(,x,),1,x,2,x,1,，,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),x,2,x,1.,当,x,(,，,0),时，,f,(,x,),x,2,x,1.,【对点练习】已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，,定义在,(,1,1),上的奇函数,f,(,x,),在整个定义域上是减函数，若,f,(1,a,),f,(1,3,a,)0,，求实数,a,的取值范围,分析,利用,f,(,x,),是奇函数，把,f,(1,a,),f,(1,3,a,)0,变形为,f,(1,3,a,),f,(,a,1),，再根据单调性列出不等式,(,组,),求解,题型四单调性与奇偶性的综合应用,例,4,定义在(1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,新教材2020-2021学年3,归纳提升,解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含,“,f,”,的式子，然后根据函数的单调性列出不等式,(,组,),求解,归纳提升解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两,A,A,误区警示,例,5,误区警示例 5,错因分析,错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇,(,偶,),函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数,错因分析错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶),正解,(1),函数的定义域为,(,2,2,，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数,(2),函数,f,(,x,),的定义域为,1,1),，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数,正解(1)函数的定义域为(2,2，不关于原点对称，,方法点拨,判断函数奇偶性的步骤如下：,(1),确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称,(2),当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数,当函数的定义域关于原点对称时，判断,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系：若对于函数,f,(,x,),定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),，则,f,(,x,),为偶函数；若对于函数,f,(,x,),定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),0,，则,f,(,x,),为奇函数,方法点拨判断函数奇偶性的步骤如下：,逻辑推理与转化思想的应用,再谈恒成立问题,1,在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：,(1),f,(,x,),在区间,D,上单调递增，则对任意,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,x,2,时，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),恒成立；,(2),若,f,(,x,),是奇函数，定义域为,M,，则,f,(,x,),f,(,x,),对任意,x,M,恒成立；若,f,(,x,),是偶函数，定义域为,M,，则对任意,x,M,f,(,x,),f,(,x,),恒成立；,学科素养,逻辑推理与转化思想的应用再谈恒成立问题学科素养,(3),若,f,(,x,),的最大值为,M,，最小值为,m,，定义域为,A,，则对任意,x,A,，有,m,f,(,x,),M,.,解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法,2,遇到,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系问题时，应首先从函数,f,(,x,),的奇偶性入手考虑，如果,f,(,x,),不具有奇偶性，看是否存在奇,(,偶,),函数,g,(,x,),，使,f,(,x,),用,g,(,x,),表示，再利用,g,(,x,),的奇偶性来解答,(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任,已知,f,(,x,),x,5,ax,3,bx,8,，且,f,(,2),10,，则,f,(2),等于,(,),A,26B,18,C,10D,10,分析,只有一个条件,f,(,2),10,，两个待定系数,a,，,b,，不能通过列方程组方法求出,a,，,b,.,由,f,(,2),求,f,(2),，我们可联想函数的奇偶性，观察,f,(,x,),的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求,f,(2)?,A,例,6,已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，,新教材2020-2021学年3,设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,.,若对任意的,x,a,，,a,2,，不等式,f,(,x,a,)2,f,(,x,),恒成立，则实数,a,的取值范围是,_,_,_.,例,7,设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x,新教材202
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