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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,集合与逻辑 推理与证明,本单元知识结构,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理：,大前提，小前提，结论,归纳推理,类比推理,直接证明,间接证明：反证法,比较法,综合法,分析法,本单元重点难点,1与集合有关的根本概念和集合,的“并、“交、“补运算。,2全称量词、全称命题、存在量,词、存在性命题等概念及应用。,3充分、必要、充要条件的意义，,两个命题充要条件的判断。,4合情推理与演绎推理的概念和应用。,5直接证明与间接证明的根本方法。,重点,：,1有关集合的各个概念的含义以及,这些概念之间的联系。,2含有一个量词的命题的否认。,3判断充要条件时，区分命题条件,和结论。,4运用合情推理与演绎推理解决问题。,5反证法的证明。,难点：,本单元高考分析,1近几年来，每年都有考查集合的题目，,总体来说这局部试题有如下特点：一是根本,题，难度不大;二是大都以填空题形式出现，,有时是解答题的一个步骤。对于集合的考查：,一是考查对根本概念的认识和理解，二是对,集合知识的应用。无论哪一种形式，都以其,他根底知识为载体，如方程组、不等式 组的解集等。,2对于逻辑的考查主要考查四种形式,的命题和充要条件，特别是充要条件，已,经在许多省市的试卷中单独出现，命题形,式：一是原命题与逆否命题的等价性含,最简单的反证法;二是充要条件的判定。,在考查根底知识的同时，还考查命题转换、,推理能力和分析问题的能力以及一些数学,思想方法的考查。,3推理在高考中虽然很少刻意去考查，,但实际上对推理的考查无处不在，从近几,年的高考题来看，大局部题目主要考查命,题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高,考中常考的题型之一，对于反证法很少单,独命题，但是运用反证法分析问题、进行,证题思路的判断经常用到，有独到之处。,4预计在今后的高考中，集合局部的,试题还将以填空题的形式出现，主要考查,集合语言与集合思想的运用，考查以集合,为背景的应用性、开放性问题，命题将构,思巧妙、独特新颖、解法灵活；而对于命,题的考查与其它知识相结合，因此根本概,念和技能一定要落实好。,典型例题分析,类型一、集合元素的特征：,注意,：由于集合元素的,互异性,，因而对求集合中,参数的值的问题，必须有,检验,的意识。,的,值,a,，求,A,1,若,2,2a,A,已知集合,1,2,+,+,=,a,a,例,1,2,1,2,2,=,+,=,+,a,a,a,或,解：,1,A,Q,这是最终结论吗？,检验：当a=-1时，不符合,变式拓展：,由实数,-x，x，|x|，,所组成的集合中最多含有,个,元素,1.,2,设,p,q,为两个非空实数集合,，定义,假设p=-1,0,1,q=-2,2那么集合 中,元素的个数是_,2,3,例2.（1）设集合,，求,解：,类型二、集合的表示：,元素是有序实数对,不能写成：,(2)已知集合,，求,解,：,方法点拨：,在处理集合问题时首先看集合的代表元素，,由代表元素确定集合的性质。,=,2,1,0,y,y,B,A,=,2,1,0,0,y,y,B,y,y,A,Q,元素是实数,类型三、元素与集合、集合与集合的关系：,已知x|x,2,-mx+2=0,x|x,2,-mx+2=0,，求实数m的取值范围。,x|x,2,-3x+2=0,且,分析,：,3,m,=,1,2,=,0,=,2,+,mx,-,x,|,x,或,2,=,0,=,2,+,mx,-,x,|,x,或,1,=,0,=,2,+,mx,-,x,|,x,2,2,2,1,2,=,0,=,2,+,mx,-,x,|,x,2,x,2,2,1,=,x,Q,1,2,0,2,3x,-,x,|,x,2,=,=,+,Q,0,2,mx,-,x,|,x,2,=,+,f,又,例3,类型四、集合的运算,例A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,且AB=A,求实数m的取值范围,3,m,综上：,3,2,5,1,2,2,1,1,2,1,-,-,+,-,+,m,m,m,m,m,解得,则,2,1,2,1,+,m,m,m,即,则,),2,(,B,f,(1)B,=,f,解：,A,B,A,B,A,=,Q,-2,m+1 2m-1,5,x,A,B,规律技巧总结：,解决两个数集关系问题时，应注意以下几点：,1注意空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，注意不要漏掉这一点。,2解决此类问题，防止出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形的完美结合之所在。,3在解含有参数的不等式或方程时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏的分类原那么，然后对每一类情况要给出问题的解答，分类讨论的一般步骤是：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论。,类型五、四种命题及其关系,1命题“假设,那么,的否命题为 .,解：若ab，则,；,注意：,命题假设A那么B 的否命题是：假设非A那么非B；,命题假设A那么B的否认是：假设A那么非B,全称命题的否认是存在命题，存在命题的否认是全称命题,2命题“所有自然数的平方都是正数的否认为,解：存在一个自然数，它的平方不是正数；,例5.,类型六、充要条件,1,2条件p:|x-a|1,条件q:2x5,假设p是q充分不必要条件,那么a的取值范围是_,的 _条件,.,充分不必要,点评：,对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整地理解充分必要条件的概念为根底，有些问题需转化为等价命题后才容易判断。互为逆否的两个命题是等效的同真同假，互逆或互否的两个命题是不等效的。,例6.,2,5,a-1,a+1,p,q,x,类型七、用含逻辑联结词命题的真假的判断求参数的范围,例7.p：有两个不等的负根，,q：无实根假设p或q为真，,p且q为假，求m的取值范围,解：,p,：有两个不等的负根,q,：无实根,(,)当,p,真且,q,假时有：,()当,p,假且,q,真时，有：,综上得m的取值范围是：,因为,p,或,q,为真，,p,且,q,为假，所以,p,与,q,的真值相反,点评：,1含有逻辑关系词的命题要先确定构成命题的命题的真假，求出此时参数成立的条件；,2其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；,注意 为假且 为真，等价于p,q中有且只有一个正确,即解这类问题时，一般是先把p、q都为真命题时求出所满足的条件，然后再分情况讨论.,例8.,假设 是 的必要不充分条件,求实数,m的取值范围.,由,得,是,的必要而不充分条件,解得：,法一：,由,得,1-m,1+m,-2,10,由题意得：,P：q:,法二：,因为 是 的必要不充分条件；,所以q是 p的必要不充分条件，,1-m,1+m,-2,10,点评：,本例涉及到参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决。一般地，在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑。,类型八、合情推理与演绎推理,9.已知扇形的弧长为 ,半径为r，类比三角形,的面积公式：，可知扇形面积公式,_,10.在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为 ,1：8,点评：类比推理步骤，首先，找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜测，最后检验这个猜测。,11.在数列中，猜想这,一数列的通项公式,解法一：,猜想数列的通项公式为,为等差数列,解法二：,点评：,解法一：运用归纳推理得出结论，简单明了；,解法二：运用演绎推理，推理严谨。,但运用合情推理需要观察、分析、归纳、猜测；,由归纳推理所得的结论未必可靠，但它由特殊到一,般的认识功能，适合对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最根本的方,法之一。,类型九、直接证明与间接证明,例12.非零向量 ,求证：,证明：,只需证：,平方得：,只需证：,即:,，,显然成立。,要证,点评：,用分析法证明不等式时，不要把“逆求错误地作为“逆推，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充分条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此，在证题时，应正确使用“要证、“只需证这样的连接“关键词。,例13.求证：,不能同时大于,这与假设矛盾，故原命题得证。,假设三式同时大于,即：,，,三式同向相乘得,又,同理,，,证明：,例14.已知a,b,c为正实数，a+b+c=1，,求证：,方法1：,=,=,=,方法2：,方法3：设,点评：,充分利用“1的代换，乘法公式是化简证明的关键。,点评：同一个问题，可能有不同的思路会用到不同的方法，分析法、比较法、综合法、反证法中探索寻求一种恰当的方法。,综合法特点是：由因推出结果；分析法特点是：由结果追溯到这一结果的原因。在证明问题时常把综合法和分析法结合起来，根据条件的结构特点转化结论，得到中间结论Q；根据结论的特点转化条件，得到中间结论P，假设由Q可以推出P成立就可以证明结论成立。,反证法在高考中的要求不太高，但是这种“正难那么反的思维方式要引起足够的重视，在解决问题时要注意从多方面、多渠道考虑，提高解决问题的灵活性。,谢谢,
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