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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 对坐标的曲面积分,一、有向曲面及有向小曲面的投影,二、对坐标的曲面积分的概念,三、对坐标的曲面积分的性质,四、对坐标的曲面积分的计算,五、两类曲面积分之间的联系,一、有向曲面及有向小曲面的投影,1.,双侧曲面,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(1),如果规定法向量的指向,朝上，就称取定曲面的,上侧,；,2.,曲面的侧的概念,(3),如果规定法向,量的指向朝前，就称取定曲面的,前侧,(4),对于闭曲面，如果其规定法向量的指向朝外，,就称,取,定曲面的,外侧,.,通过规定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧,.,(2),如果规定法向,量的指向朝右，就称取定曲面的,右侧,；,方向余弦,0,为前侧,0,为右侧,0,为上侧,0,为下侧,外侧,内侧,侧的规定,3.,有向曲面的概念,指定了侧的曲面叫,有向曲面,.,4.,有向小曲面在坐标面上的投影,二、对坐标的曲面积分的概念,定义,（,1,）函数,在有向曲面,上对坐标,的,曲面积分记为,规定：,（,2,）函数,在有向曲面,上对坐标,的,曲面积分记为,规定：,（,3,）函数,在有向曲面,上对坐标,的,曲面积分记为,规定：,被积函数,其中,积分曲面,1,0,对坐标的曲面积分也称为,第二类曲面积分,注,2,0,如果,是闭曲面,则积分号,“”,应改写为,“”,3,0,可简记为,三、对坐标的曲面积分的主要性质,性质,1,性质,2,性质,2,表明：对坐标的曲面积分必须注意积分曲面的侧（方向）,!,其中 表示与,取相反侧的曲面,四、对坐标的曲面积分的计算,则,则,则,（,前侧取“”，后侧取“”）,（,上侧取“”，下侧取“”）,（,右侧取“”，左侧取“”）,注,2,0,计算对坐标的曲面积分的思想方法：,简言之，“一投，二代，三定号”,一定投影区域，,二代被积函数，,三定积分符号,解,（上侧）,（下侧）,其中,例,2,计算,其中,是由平面,与三,坐标面所围成的四面体,的整个表面的外侧,.,解,(,后侧,);,(,前侧,).,其中,(,左侧,);,(,下侧,);,（,1,）先计算,【,前侧取正,】,(,后侧,);,(,右侧,).,其中,(,左侧,);,(,下侧,);,（,2,）再计算,【,左侧取负，右侧取正,】,故,五、两类曲面积分之间的联系,其中,是有向曲面,在点,处的,法向量的方向余弦,.,注,1,0,2,0,曲面的法向量的方向必须与的侧一致,解,因为取下侧，,故,于是，,利用两类曲面积分的联系,是连续函数，,是平面,在第,四,卦限部分的上侧,计算,解,例,4,设,因为取上侧，,故,利用两类曲面积分的联系,
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