非现行模型的线性化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,章 非线性回归模型的线性化,有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。,以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。,下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。,幂函数模型,指数函数模型,对数函数模型,双曲线函数模型,多项式方程模型,生长曲线模型,(1),幂函数模型,(,全对数模型,),(,b,1),(0,b,1),(,b,=-1),(,b,b,-1),b,取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得,Lny,t,=,Lna,+,b,Lnx,t,+,u,t,令,y,t,*=,Lny,t,a,*=,Lna,x,t,*=,Lnx,t,则上式表示为,y,t,*=,a,*+,b,x,t,*+,u,t,变量,y,t,*,和,x,t,*,之间已成线性关系。幂函数模型也称作,全对数模型,。,Cobb-Douglas,生产函数（二元幂函数）,(1),幂函数模型,(,全对数模型,),例,4.1,：,Cobb-Douglas,生产函数（台湾）,(2),指数函数模型,上式等号两侧同取自然对数，得,Lny,t,=,Lna,+,b,x,t,+,u,t,令,Lny,t,=,y,t,*,Lna,=,a,*,则,y,t,*=,a,*+,b,x,t,+,u,t,变量,y,t,*,和,x,t,已变换成为线性关系。其中,u,t,表示随机误差项。,某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了,47,个样本，得硫酸透明度（,y,）与铁杂质含量（,x,）的散点图如下：,案例,1,：硫酸透明度与铁杂质含量的关系,（指数函数案例）,（,1,）,y,=121.59-0.91,x,（,2,）,1/,y,=0.069-2.37(1/,x,),(10.1)(-5.7)(18.6)(-11.9),R,2,=0.42,s.e,.=36.6,F=32 R2=0.76,s.e,.=0.009,F=142,案例,1,：硫酸透明度与铁杂质含量的关系,（指数函数案例）,（,3,）,y,=-54.40+6524.83(1/,x,),（,4,）,Lny,=1.99+104.5(1/,x,),(-7.2)(16.3),(22.0)(21.6),R,2,=0.86,s.e,.=18.2,F=266,R,2,=0.91,s.e,.=0.22,F=468,还原，,Lny,=Ln(7.33)+104.5(1/,x,),（,5,）非线性估计结果是,R,2,=0.96,EViews,命令：,Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X),样本内预测评价：,案例,1,：硫酸透明度与铁杂质含量的关系,（指数函数案例）,样本点与指数拟合曲线,(3),对数函数模型,y,t,=,a,+,b,Lnx,t,+,u,t,(,b,0),y,t,=,a,+,b,Lnx,t,+,u,t,(,b,0),(,b,0,b,2,0),(,b,1,0,b,3,0),总成本函数的估计,(5),多项式函数模型,(1),例,4.2,：总成本与产品产量的关系,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,b,3,x,t,3,+,u,t,(5),多项式函数模型,(1),例,4.2,：总成本与产品产量的关系,=2434.7+85.7,x,t,-0.028,x,t,2,+,0.00004,x,t,3,(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6),R,2,=0.9998,N,=15,案例,4,：厦门市贷款总额与,GDP,的关系分析,（,19902003,）,从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。,Loan,t,=,0,+,1,GDP,t,+,2,GDP,t,2,+,3,x,t,3,+,u,t,t,=-24.5932+1.6354,GDP,t,-0.0026,GDP,t,2,+0.0000027,GDP,t,3,(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9),R,2,=0.9986,DW,=2.6,案例,4,：厦门市贷款总额与,GDP,的关系分析,（,19902003,）,(5),多项式方程模型,(2),(,b,1,0),(,b,1,0,b,2,0),另一种多项式方程的表达形式是,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,u,t,令,x,t,1,=,x,t,，,x,t,2,=,x,t,2,，上式线性化为，,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,1,+,b,2,x,t,2,+,u,t,如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。,(5),多项式方程模型,(2),例,4.2,：平均成本与产品产量的关系,=105.1-0.06,x,t,+0.00006,x,t,2,(42.5)(-8.7)(12.8),R,2,=0.97,N,=15,(6),生长曲线,(logistic),模型,美国人口统计学家,Pearl,和,Reed,广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，,Pearl-Reed,曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中,k,和,0,分别为,y,t,的上限和下限。,a,b,为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。,(6),生长曲线,(logistic),模型,(6),生长曲线,(logistic),模型,案例,5,：非典数据,（,2003-5-1,2003-5-28,）,y,t,存活率,(%),t,土埋月数,100.0,0,93.0,1,92.3,2,88.0,3,84.,4,82.0,5,48.4,6,41.0,7,15.0,8,5.2,9,3.5,10,1.3,11,0.5,12,案例,6,：,钉螺存活率曲线,（生长曲线模型）,把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数，计算存活率。数据见表。,设定,y,t,的上渐近极限值,k,=101,（因为已有观测值,y,t,=100,，所以令,k,=101,更好些。），得估计结果如下：,案例,6,：,钉螺存活率曲线,（生长曲线模型）,案例,6,：,钉螺存活率曲线,（生长曲线模型）,点预测：当,t,=6.5,月时，,钉螺存活率样本值与拟合值。,