高等代数与解析几何导学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高等代数与解析几何,绪 言,一、课程介绍,一代数与几何,在古代很长很长的时间里，代数与几何就象两条铁轨并行向前。直到笛卡尔和费尔马诞生后，二者才实现了历史的结合，并获得快速开展。,一代数与几何,然而，受前苏联追求完美理论体系的影响，高等代数、解析几何成为两门独立的课程，并与数学分析一起被认为是数学专业的三门重要根底课程。,伴随高等教育教学改革的推进，为解决原有教学体系中出现的突出问题，早在上世纪90年代初，陈省身、姜伯驹等数学家就提出把高等代数、解析几何整合为一门课程的思想。最近几年，这项工作取得显著成效，基于“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景的理念，代数与几乎又被融为一体。,二课程主要内容,高等代数=多项式代数+线性代数,高等代数是初等代数的自然推广和开展,解析几何研究空间中点、线、面及其相互关系,在传统意义下，代数主要研究数量关系，而几何主要研究空间形式，所以，恩格思对数学有一个经典的定义：,数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。,求解方程,求解二（三）元,线性方程组,求解一元二次,（三次）方程,一元二次（三次）多项式的因式分解,一元二次（三次）方程求根,初等代数,一元n次多项,式的求根理论,解的,结构,解的一,般理论,求解,工具,n元线性方程,组求解理论,整除,理论,因式分,解理论,求根,问题,矩阵,行列式,向量空,间理论,线性变,换空间,欧氏,空间,二次型,应用,多元多项式与,对称多项式,高等代数,关于解方程，数学家陈省身先生有一段耐人寻味的描述：“一个数学家应该了解什么是好的数学，什么是不好的和不大好的数学。有些数学是具有开创性的，有开展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。所以选择好的数学研究方向是要紧的。那么什么是好的数学？比方说解方程就是。搞数学就要解方程。,高等代数与解析几何融合以后的内容模块,线性代数,多项式代数,空间几何,基于Maple的数学实验,代数与几何结合局部,三历史透析,1、多项式理论的建立,一元二次方程求根问题,一元三次方程求根问题,一元四次方程求根问题,一元五次方程求根问题,注：求解三次方程的卡尔丹公式,的三个根:,的三个根:,判别式,的求根问题,原方程,原方程的三个根:,卡尔丹公式的推导过程充分展示了从特殊到一般的思想。,1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早便显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作。自16世纪以来，随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决了这个世纪难题，在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物分别代表五次方程和椭圆函数。,阿贝尔,18021829,关于五次方程求根问题，我们需要记住两位数学家。,法国重要的数学家，他的工作为群论奠定了根底；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根式解的不可能性其实当时已为阿贝尔所证明，只不过伽罗华并不知道，和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西Cauchy遗失了，第二次那么被傅立叶Fourier所遗失；他还与巴黎综合理工大学的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文又被泊松Poisson所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学史上最具浪漫主义色彩的人物之一。,伽罗华,variste Galois,18111832,2、线性代数的建立在相关章节介绍,法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。,笛卡儿早年就读于拉弗莱什公学时，因孱弱多病，被允许早晨在床上读书，养成了喜欢安静善于思考的习惯。1612年在普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1618年参军，到过荷兰、丹麦、德国。1621年回国，因法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行，1625年返回巴黎。1628年移居荷兰，从事哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究，并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的著作几乎全都是在荷兰完成的。1949年冬天，他应邀去为瑞典女王授课，1650年初患肺炎，同年2月病逝。,笛卡儿,1596-1650,3、解析几何学的诞生话说笛卡儿与费马,四应用价值,费马,16011665,费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书的习惯，但凡他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜测和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王。,费马对数学的奉献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分创造人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜测，指明了关于整数的理论数论的开展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。,1、用代数方法解决几何问题关于吴文俊的,机器证明。,2、矩阵力学物理学的重要分支。,3、动画效果背后的源程序。,4、应用实例。,1数码相机定位双目定位问题2021全国,数学建模竞赛题,2计算机层析X射线,3投入产出模型,二、课程的教与学,一为什么要学习该课程,1、能有效地训练人的思维,2、是重要的数学工具,3、有广阔的应用领域,4、蕴涵丰富的哲学思想,5、是后续课程的根底,6、数学类研究生考研必考课程,二怎样学好这门课程,1、重在把握思想方法,2、用数学思维方式学习数学,3、立体地学习,4、务实地学习,三参考书,1、高等代数与解析几何习题精解，陈志杰等编,2、高等代数与解析几何,孟道骥编,3、线性代数与空间解析几何，黄廷祝等编,4、高等代数，张禾瑞或北京大学数学教研室编,5、解析几何，吕林根编,四辅导答疑与作业,五成绩评定,平时成绩20%作业+出勤+数学实验,其中测验20%,期末考试60%,